[leetcode]96. Unique Binary Search Trees给定节点形成不同BST的个数

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Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题意：

给定n个节点，可形成多少种不同的BST

思路：

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，          f(0) =1。

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点，       f(1) =1。

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下2种可能,                f(2)=2。

1             2
  \          /
    2      1

如果数组有三个元素{1,2,3}， 那么有如下5种可能,             f(3)=5。

 1       1           2          3       3
  \       \         / \        /       /
   3       2       1   3      2       1
  /         \                /         \
2            3              1           2

由此得出规律，

对于任意以i为根节点的二叉树，

其左子树的值一定小于i，也就是[0, i - 1]区间，

而右子树的值一定大于i，也就是[i + 1, n]区间。

假设左子树有m种排列方式，而右子树有n种，则对于i为根节点的二叉树总的排列方式就是m x n

f(2) = f(0) * f(1) + f(1) * f(0);
f(3) = f(0) * f(2) + f(1) * f(1) + f(2) * f(0);
f(4) = f(0) * f(3) + f(1) * f(2) + f(2) * f(1) + f(3) * f(0);
....
f(n) = f(0) * f(n-1) + f(1) * f(n-2) + ... + f(n-2) * f(1) + f(n-1) * f(0); 【卡特兰数(Catalan)】

代码：

 class Solution {
     public int numTrees(int n) {
         if(n < 1) return 0;
         int[] dp = new int[n+1];
         dp[0] = 1;
         dp[1] = 1;
         for(int i = 2; i <= n; i++){
             for(int j = 0; j < i; j++){
                 dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
             }
         }
         return dp[n];
     }
 }