离散对数的求解(bsgs)

bsgs算法

主要用来解决${A^x} = B(\bmod C)$(c是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。

例：poj 2417 Discrete Logging

具体步骤如下：

先把$x = i*m - j$，其中$m = ceil(\sqrt C )$，（ceil是向上取整）。

这样原式就变为${A^{(i*m - j)}} = B(\bmod C)$，

再变为${A^j}*B = {A^{(m*i)}}(\bmod C)$。

枚举j(范围0-m),将${A^j}*B$存入hash表

枚举i(范围1-m),从hash表中寻找第一个满足${A^j} * B = {A^{(m * i)}}(\bmod C)$。

此时$x = i*m - j$即为所求。

在网上看到的其他题解大多用的是$x = i*m + j$，也可以做，只是会牵扯的求逆元，所以比较麻烦。使$x=i*m-j$就可以轻松避免这个问题了。

那么肯定有人会有疑问为何只计算到$m = ceil(\sqrt C )$就可以确定答案呢？

$x = i*m - j$ 也就是x 的最大值不会超过p,那超过p的怎么办 ？

有一个公式  ${a^{k\bmod (p - 1)}} = {a^k}(\bmod p)$    这个公式的推导需要用到费马小定理

$k\bmod p - 1$可以看做 $k - m*(p - 1)$ ,原式可化成  ${a^k}/{({a^{(p - 1)}})^m} = {a^k}(\bmod p)$

根据费马小定理 ${a^{(p - 1)}} = 1(\bmod p)$其中p为质数 ，a,p 互质，可得${a^k}/{1^m} = {a^k}(\bmod p){a^k} = {a^k}(\bmod p)$得证

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<map>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll q=,a=,yy,y2,m,ans,t;
 map<ll,int>mp;
 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
     ll res=;
     while(n>){
         if(n&)    res=res*x%mod;
         x=x*x%mod;
         n>>=;
     }
     return res;
 }

 int main(){
     while(~scanf("%lld%lld",&yy,&y2)){
         mp.clear();
         m=ceil(sqrt(q));
         for(ll i=;i<=m;i++){
             if(i==){
                 ans=yy%q;
                 mp[ans]=i;
                 continue;
             }
             ans=ans*a%q;
             mp[ans]=i;
         }
         bool flag=false;
         ans=;
         t=mod_pow(a,m,q);

         for(int i=;i<=m;i++){
             ans=ans*t%q;
             if(mp[ans]){
                 ll temp=i*m-mp[ans];
                 ll rr=mod_pow(y2,temp,q);
                 printf("%lld\n",rr);
                 flag=true;
                 break;
             }
         }
         if(!flag){
         printf("No Solution\n");
         }
     }
     return ;
 }