bzoj1041题解
求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2),在圆周上有多少个点的坐标是整数。r<=2000
000 000
这道题刚看时,就明白暴力不能解决一切。要是r^2<=20亿,还可以sqrt循环,这样的话只能用数学方法了。
(嘘!本数学方法的关键一步是借鉴来的)
x^2+y^2=r^2
x^2=r^2-y^2
x^2=(r+y)(r-y)
我们设gcd(r+y,r-y)=d //不知道什么是GCD?就是最大公因数
再设m=(r+y)/d,n=(r-y)/d,易得gcd(m,n)=1
因为m*n=x^2/d/d,即m*n是平方数。
又因为m和n互质,所以它们分别是平方数,我们还可以设m=u^2,n=v^2 。
带回去,r+y=d*u^2,r-y=d*v^2。
两式相加,2r=d(u^2+v^2)
加到这里,这些字母都表示整数。
现在我们的目标达成了:即把r^2降成了r。
我们可以枚举sqrt(2r),再依次判断是否有整数的u,v,且它们是否互质 。
最后还要注意以下:首先,所得结果要乘4 ,比如(3,4),还有(3,-4),(-3,4),(-3,-4)。
当然,如果x=0或y=0是一定可以的。最后还要加上4,即(0,r),(r,0),(0,-r),(-r,0)。(呵呵,r不等于0,O(∩_∩)O~~)
以下附代码:
#include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; const double jing=0.00000001; long gcd(long a,long b){if (a%b==0) return b;return gcd(b,a%b);} long long ans=0,r,temp;long i,j;double t; int main() { scanf("%lld",&r);r*=2; for (i=1;i<=trunc(sqrt(r));i++) if (r%i==0) { temp=r/i; for (j=1;j<=trunc(sqrt(temp));j++) { t=trunc(sqrt(temp-j*j));if (t<=j) break; if (t*t+j*j==temp){if (gcd(j,t)==1) ans++;} } if (r/i==i) continue;temp=i; for (j=1;j<=trunc(sqrt(temp));j++) { t=trunc(sqrt(temp-j*j));if (t<=j) break; if (t*t+j*j==temp){if (gcd(j,t)==1) ans++;} } } ans*=4;ans+=4;printf("%ld",ans); return 0; }
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