MT【125】四点共圆

(2017湖南省高中数学竞赛16题)
\(AB\)是椭圆\(mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m\ne n)\)的斜率为 1 的弦.\(AB\)的垂直平分线与椭圆交于两点\(CD\)
(1)求证:\(|CD|^2-|AB|^2=4|EF|^2\) 其中\(E,F\)为\(AB,CD\) 的中点.
(2)证明:\(A,B,C,D\) 四点共圆.

证明第(2)问： 设\(AB,CD\)的交点\(P(x_0,y_0)\),过点\(P\)的直线方程为
\[\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
x &= x_0+t \\
y&=y_0+kt
\end{aligned} \right.
\end{equation*}\]
与椭圆联立可得 \(m(x_0+t)^2+n(y_0+kt)^2=1\);
整理得 \((m+nk^2)t^2+2(mx_0+ny_0k)t+mx_0^2+ny_0^2-1=0\)
得到\(t_1t_2=\dfrac{mx_0^2+ny_0^2-1}{m+nk^2} ( \textbf{为定值})\) (由题意这里 \(k=\pm 1\))
故由相交线定理可得\(A,B,C,D\)四点共圆.
事实上,由上面的证明过程我们可以得到更一般的结论:非圆二次曲线，如果对称轴在 \(x\) 轴或者\(y\)轴上(相当于没有xy交叉项).对应的\(AC\)与\(BD\)直线如果斜率互为相反数(保证了\(k^2\)相等),则四点共圆.