SW算法求全局最小割(Stoer-Wagner算法）

似乎是一个冷门算法，连oi-wiki上都没有，不过洛谷上竟然有它的模板题，并且2017百度之星的资格赛还考到了。于是来学习一下。

一些定义

无向图的（全局）最小割：一个边权和最小的边集，断掉后图不联通。

算法

我们自然可以直接钦定一个 \(S\)，枚举 \(T\)，求最小割，其中最小值即为答案。不过复杂度过于高，大概是 \(O(n^3m)\)，当遇到稠密图的时候，就是 \(O(n^5)\)。（尽管这个复杂度非常虚，靠信仰或许能通过题）如果我们用最小割树，复杂度不会变。因此我们需要一个更快捷的方法。

流程

（没写证明是因为不会证明）

设 \(w[p]\) 表示点集外一点 \(p\) 到当前维护的点集中所有点的权值和（类似加权度数）。

找到当前图中 \(w[p]\) 最大的点 \(p\)，将 \(p\) 加入到当前集合，并更新其它 \(w[p]\)。
若集合不为全集，则重复 1 操作。
设最后加入点集的两点为 \(s, t\)（..., \(s\), \(t\))，最后的 \(w[t]\) 即为 \(s, t\) 的最小割。用此最小割更新答案，并合并 \(s, t\).
若当前点数仍大于2，则清空集合，回到 1 操作。

由此可知，SW 算法的复杂度是 \(O(n^3)\)。

关键代码

使用邻接矩阵更方便。

int v[N][N], w[N], s, t;//邻接矩阵，加权度数，源汇

bool del[N], vis[N];//是否因合并被删除，是否在点集里

inline int search() {//将点逐个加入点集，得到s,t,s-t最小割

	memset(w, 0, sizeof(w));

	memset(vis, 0, sizeof(vis));//清空集合

	s = 0, t = 0;

	int res = inf;

	while(1) {

		int p = 0, mx = -inf;

		for (register int i = 1; i <= n; ++i) if (!del[i] && !vis[i])

			if (w[i] > mx)	mx = w[i], p = i;

		vis[p] = true;

		if (!p)	return res;//没有点集以外的点了

		s = t, t = p;

		res = w[p];

		for (register int i = 1; i <= n; ++i) if (!del[i] && !vis[i])

			w[i] += v[i][p];

	}

}

inline void SW() {//更新答案，合并

	int ans = inf;

	for (register int i = 1; i < n; ++i) {

		MIN(ans, search());

		if (!ans)	break;

		del[t] = true;

		for (register int j = 1; j <= n; ++j) if (!del[j]) {

			v[s][j] += v[t][j];

			v[j][s] += v[j][t];//无向图合并

		}

	}

	printf("%d\n", ans);

}

感性理解

博客里说和 prim 算法有关系，但是我并不精通 prim 算法，因此理解起来会很费劲。

现在我要发挥shadowice精神了

纯属口胡，无任何逻辑。

\(w[p]\) 为 \(p\) 到点集的“加权度数”，可以衡量 \(p\) 与点集的“紧密度”。我们每次首先选择与点集“紧密度”更大的点加入点集，最后加入的 \(s, t\) 就是与图“紧密度”最小的点了，因此 \(w[t]\) 是将 \(t\) 这个最“边远”的点割离图的最小费用。

如果 \(s, t\) 在最终的最小割中不在同一连通块，那么答案会被这一轮计算出来；如果 \(s, t\) 在同一连通块，那么合并 \(s, t\) 也对答案没有影响。