C++算法之旅、08 基础篇

质数

在>1的整数中，如果只包含1和本身这两个约数，就被称为质数(素数)

866 试除法判定

$O(n)$

bool isprime(int x) {

    if (x < 2) return false;

    for (int i = 2; i < x; i++)

        if (x % i == 0) return false;

    return true;

}

约数 d 与 n / d 成对出现，可以枚举较小的那一个 $O(\sqrt{n})$

$d <= n/d \\ d^2 <= n \\ d <= \sqrt{n}$

难点

循环判断条件不要用 sqrt，每次循环都会执行一遍sqrt函数，比较慢
循环判断条件不要用 i * i，存在溢出风险（变成负数）
一定不会溢出的写法是 i <= n / i

#include <iostream>

using namespace std;

bool isprime(int n) {

    if (n < 2) return false;

    for (int i = 2; i <= n / i; i++)

        if (n % i == 0) return false;

    return true;

}

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    while (n--) {

        int x;

        cin >> x;

        if (isprime(x))

            cout << "Yes" << endl;

        else

            cout << "No" << endl;

    }

}

867分解质因数

867. 分解质因数 - AcWing题库

质因数指能整除给定正整数的质数。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。

相关理论证明可看数论——质数：分解质因数 - 知乎 (zhihu.com)

从2到$\sqrt{n}$枚举n的所有质因数，求其指数并输出。还要考虑最多有一个质因素大于$\sqrt{n}$的情况，单独判断输出。最坏 $O(\sqrt{n})$，最好 $O(logn)$ (考虑$2^k$情况)

#include <iostream>

using namespace std;

void divide(int n) {

    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {

        if (n % i == 0) {

            int cnt = 0;

            while (n % i == 0) {

                cnt++;

                n /= i;

            }

            cout << i << " " << cnt << endl;

        }

    }

    if (n > 1) cout << n << " " << 1 << endl;

}

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    while (n--) {

        int x;

        cin >> x;

        divide(x);

        cout << endl;

    }

}

868筛质数

868. 筛质数 - AcWing题库

朴素算法是从前往后删倍数（2~p-1都不是n的约数，所以n是质数）

调和级数$1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/∞$ 极限等于 $lnn+C$。

$lnn < log_2n$，因此朴素算法复杂度为 $O(nlogn)$

埃式筛法：只删除2~p-1中质数的倍数，原理跟867类似（算数基本定理：每个正整数都可以唯一表示成素数的乘积）

粗略估计：1~n当中，有$n/lnn$个质数，时间复杂度变为 $O(n)$，真实复杂度 $O(nloglogn)$，两者差不多一个级别

#include <algorithm>

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int primes[N], cnt;

bool st[N];

void get_primes(int n) {

    for (int i = 2; i <= n; i++) {

        if (!st[i]) {

            primes[cnt++] = n;

            for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;

        }

    }

}

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;

}

线性筛法，$O(n)$，基本思路一样（基于每个质数的倍数为非质数），当 n 很大时，速度比埃式筛法快一倍。

每个数只会被其最小质因子筛掉

i % pj == 0，pj 一定是 i 的最小质因子，pj 一定是 pj * i 的最小质因子
i % pj != 0，pj 一定小于 i 的所有质因子，pj 一定是 pj * i 的最小质因子

#include <algorithm>

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int primes[N], cnt;

bool st[N];

void get_primes(int n) {

    for (int i = 2; i <= n; i++) {

        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;

        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {

            st[primes[j] * i] = true;

            if (i % primes[j] == 0) break;  // primes[j] 一定是 i 的最小质因子

        }

    }

}

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;

}

约数

869 试除法求约数

869. 试除法求约数 - AcWing题库

与866优化原理类似 $O(\sqrt{n})$

#include <algorithm>

#include <iostream>

#include <vector>

using namespace std;

vector<int> get_divisors(int n) {

    vector<int> res;

    for (int i = 1; i <= n / i; i++) {

        if (n % i == 0) {

            res.push_back(i);

            if (i != n / i) res.push_back(n / i);  // 避免平方

        }

    }

    sort(res.begin(), res.end());

    return res;

}

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    while (n--) {

        int x;

        cin >> x;

        auto res = get_divisors(x);

        for (auto t : res) cout << t << ' ';

        cout << endl;

    }

}

870约数个数

利用算术基本定理，每个质因数有(1+n)种选择。m个选择组合得出m个约数

具体原理可看第四章数学知识（一）——质数与约数 - 知乎 (zhihu.com)

INT_MAX 约数个数约1500

870. 约数个数 - AcWing题库

求 n 个数的乘积的约数个数，可以求每个数的每个质因子指数之和，然后套用公式。

#include <algorithm>

#include <iostream>

#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9 + 7;

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    unordered_map<int, int> primes;

    while (n--) {

        int x;

        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i++) {

            while (x % i == 0) {

                x /= i;

                primes[i]++;

            }

        }

        if (x > 1) primes[x]++;

    }

    LL res = 1;

    for (auto prime : primes) res = res * (prime.second + 1) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;

}

871约数之和

AcWing 871. 约数之和 - AcWing

#include <algorithm>

#include <iostream>

#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9 + 7;

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    unordered_map<int, int> primes;

    while (n--) {

        int x;

        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i++) {

            while (x % i == 0) {

                x /= i;

                primes[i]++;

            }

        }

        if (x > 1) primes[x]++;

    }

    LL res = 1;

    for (auto prime : primes) {

        int p = prime.first, a = prime.second;

        LL t = 1;

        while (a--) {

            t = (t * p + 1) % mod;

        }

        res = res * t % mod;

    }

    cout << res << endl;

    return 0;

}

872最大公约数

872. 最大公约数 - AcWing题库

欧几里得算法（辗转相除法）

#include <algorithm>

#include <iostream>

#include <unordered_map>

using namespace std;

// a 和 0 的最大公约数是 a

int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    while (n--) {

        int a, b;

        cin >> a >> b;

        cout << gcd(a, b) << endl;

    }

    return 0;

}