create index 与 alter table add index 区别

众所周知，MySQL创建索引有两种语法，即：
ALTER TABLE HeadOfState ADD INDEX (LastName, FirstName);
CREATE INDEX index_name HeadOfState (LastName, FirstName);
那么，这两种语法有什么区别呢？ 
在网上找了一下，在一个英文网站上，总结了下面几个区别，我翻译出来，如下：
1、CREATE INDEX必须提供索引名，对于ALTER TABLE，将会自动创建，如果你不提供；
2、CREATE INDEX一个语句一次只能建立一个索引，ALTER TABLE可以在一个语句建立多个，如：
      ALTER TABLE HeadOfState ADD PRIMARY KEY (ID), ADD INDEX (LastName,FirstName);
3、只有ALTER TABLE 才能创建主键，ADD INDEX 不能；