51 Nod 1083 矩阵取数问题（动态规划）

原题链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1083

题目分析：通过读题发现我们只能往右边或者下边走，意味着“不走回头路”,就是说矩阵里面每个位置最多只会经过一次。其实很多地方是“没有机会”经过的。比如我现在在第  行的第  列，不管之前走的路径是什么样子，则它左边和上边的位置都是不可能再走到的。也就是说，我先在在矩阵第  行的第  列，并假设以它为原点把矩阵分成四个“象限”，只有第四象限的位置才有可能从这以后经过 （当然还包括横轴的正半轴）！

假设我们从起点走到终点的过程中经过第  行的第  列某个位置，为了从起点到终点得到的和最大，那么从起点到第  行的第  列这个位置经过的数的和也一定要最大。我们定义集合  是从起点到第  行的第  列的全部路径集合，定义集合  是从第  行的第  列到终点的全部路径集合。那么起点到终点的路径实际上是子路径 ∈ 和子路径 ∈ 的连接（注意删掉第  行的第  列这个点，否则走了两次了)。 即所有经过第  行的第  列的路径都可以划分到  和 这两个集合里，而且任何 ∈ 和子路径 ∈ 都可以拼接出一条经过第  行的第  列的路径。那么我要选择一条经过  的能得到最大值的路径，显然要选择  集合里路径和最大的 ,（其实还要选  集合里和路径和最大的 ）。

说了这么多，其实就是想明确一个事：从起点到终点的最优路径上经过了  个点，则这条路径上对应起点到这  个点的子路径也都从起点到该位置的所有路径中和最大的路径。

那么假设我们定义  表示从起点到第  行的第  列的最优路径上的数之和，并假设这个矩阵事个二维数组  (下标从  开始)。我们考虑一下，我们如何才能到 ?前一步要么到 ， 要么到  ，因为有且只有这两个位置能到 ，那么怎样才能得到  ? 按我们前面说的，如果从起点达到  的最优路径要经过 或者 则，从起点到达  或者  的路径一定也必须是最优的。那么按照我们对  的定义，我们有从起点达到  的最优路径有两种可能：

• 要么 
• 要么 

我们要取最优，那自然取较大的，因此有  。这样原来要枚举指数条路径，现在对于每个位置只有两种情况啦。有了递推关系还不够，有初值才能求解。那我们看一下，显然这是在起点，没的选。那么按照递推式  ， 但是我们对 没有定义呀！考虑下实际意义，这表示要么我们从上面到达  ，要么从左面到达 。可是上面没有位置过来啊，这种说明没的选。所以我们可以定义, 同理我们也可以定义。

那么总结一下我们的递推式：

分析一下这个算法的时间复杂度？ 显然是 ，空间复杂度也一样。

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代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INFTY = (1 << 29);

int main() {
	int n, a[505][505], dp[505][505];
	cin >> n;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			cin >> a[i][j];

	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		a[0][i] = INFTY;
		a[i][0] = INFTY;
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (i == 1 && j == 1 ) dp[i][j] = a[1][1];
			else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + a[i][j];
		}
	}	

	cout << dp[n][n] << endl;

	return 0;
}