洛谷 P1862 输油管道问题

题意

题目链接：P1862 输油管道问题

不难看出每个油井的 \(x\) 坐标是没用的，所以问题转化为如下。

代数意义：给出 \(n\) 个数 \(y_1,y_2,\ldots,y_n\)，找一个数 \(a\)，使得 \(\sum_{i=1}^n |a-y_i|\) 最小。

几何意义：数轴上有 \(n\) 个点 \(y_1,y_2,\ldots,y_n\)，在数轴上放置一个点 \(a\)，使得线段 \(ay_1,ay_2,\ldots,ay_n\) 长度之和最小。

思路

为便于说明，假设 \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) 从小到大有序。

如果从代数意义着手，你会发现式子里既有绝对值又有和式，很难找到思路，所以应该从几何意义着手。

当 \(n\) 为偶数时，\(a\) 放在最中间两个点之间是最优的，证明如下：首先只考虑 \(y_1\) 和 \(y_n\) 两个点，则点 \(a\) 应放在 \(y_1\) 和 \(y_n\) 中间。接着再把点 \(y_2\) 和点 \(y_{n-1}\) 纳入考虑，显然 \(a\) 应该放在 \(y_2\) 和 \(y_{n-1}\) 中间（此时 \(a\) 同样也在 \(y_1\) 和 \(y_n\) 中间）……依此类推即可得出结论。

当 \(n\) 为奇数时，\(a\) 放在中间那个点上是最优的，证明方法同上。

统一处理：取 \(y_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}\) 作为 \(a\)，或者取中位数也行。可以直接排个序取中间，也可以按快排的思想用分治法求，反正都能过。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 10000 + 5;
int arr[maxn];

int solve(int n)
{
    sort(arr + 1, arr + 1 + n);
    int a = arr[(n + 1) / 2];
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += abs(arr[i] - a);
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        arr[i] = y;
    }
    printf("%d", solve(n));
    return 0;
}