图：无向图(Graph)基本方法及Dijkstra算法的实现 [Python]

一般来讲，实现图的过程中需要有两个自定义的类进行支撑：顶点(Vertex)类，和图(Graph)类。按照这一架构，Vertex类至少需要包含名称（或者某个代号、数据）和邻接顶点两个参数，前者作为顶点的标识，后者形成顶点和顶点相连的边，相应地必须有访问获取和设定参数的方法加以包装。Graph类至少需要拥有一个包含所有点的数据结构（列表或者map等），相应地应该有新增顶点、访问顶点、新增连接边等方法。当然，为了实现Dijkstra算法（一种基本的最短路径算法），除了可以在Graph类里增加一个执行Dijkstra算法的方法以外，还需要在Vertex类里增加用于Dijkstra算法的一些参数：某一个顶点距离Dijkstra搜索起点的距离，以及一旦完成Dijkstra搜索需要回溯路径时，前驱顶点的信息。

在这里记录用python实现以上基本方法和Dijkstra算法的代码，因为Python中的现成的数据结构类型便于使用，比如字典dict类，很方便地能够构造一个类似于map的映射，而且Python的sort方法也特别好用。首先是自定义类顶点(Vertex)的代码，如上所述，为了满足BFS算法的执行和回溯的需要，Vertex类一共有四个参数：id（标记）、connections（邻接顶点字典，键值为邻接顶点，对应值为权重或者边长）、前驱顶点pre和从起点的距离distance。这二者在Dijkstra算法的执行过程中被赋值，在回溯时需要利用pre的信息。

Vertex类的方法中多数为基本的访问参数(get)-设定参数(set)的方法对，比如访问/设定邻接顶点信息的 add_neighbour(neighbour, weight) 和 get_connection() ，访问/设定前驱顶点信息的 get_pre()  和 set_pre(prev) ，以及访问/设定从起点起距离的 get_distance()  和 set_distance(dist) 。除此之外重载了字符串化方法，即__str__，这便于print函数和str函数将Vertex类转化为一个有意义的字符串。

 class Vertex:
     # 初始化构造函数，name为字符串，connections字典为<Vertex(class), weight(fl)>
     # 前驱顶点pre，从起点距离distance，在Dijkstra执行赋值后有意义
     def __init__(self, name):
         self.id = name
         self.pre = None
         self.distance = float('inf')
         self.connections = dict()

     # 重载字符串化函数，返回字符串
     def __str__(self):
         return str(self.id) + " connected to: " + str([x.id for x in self.connections])

     # 增加相邻顶点，neighbour为Vertex类，weight为浮点型边权重
     def add_neighbour(self, neighbour, weight=0):
         self.connections[neighbour] = weight

     # 获取顶点id函数
     def get_id(self):
         return self.id

     # 获取顶点邻接点的函数，返回键值(Vertex)列表
     def get_connections(self):
         return self.connections.keys()

     # 获取顶点与邻接点边权重，传入Vertex类对象neighbour，返回weight(fl)
     def get_weight(self, neighbour):
         return self.connections[neighbour]

     # 获取顶点的距离（在BFS执行后使用）
     def get_distance(self):
         return self.distance

     # 获取前驱顶点（在Dijkstra执行后使用）
     def get_pre(self):
         return self.pre

     # 设定顶点的距离（在Dijkstra执行过程中调用）
     def set_distance(self, dist):
         self.distance = dist

     # 设定前驱顶点（在Dijkstra执行过程中调用）
     def set_pre(self, prev):
         self.pre = prev

图(Graph)类：拥有两个参数：顶点字典（顶点id：顶点Vertex类）和顶点数量。顶点数量这个参数似乎没什么用，除非是增加一个判断图是否为空的 isEmpty() 方法和 getSize() 方法可能用得着。

方法中包含新增顶点的 add_vertex(name) ，按照id获取顶点的 get_vertex(name) 。dict的数据结构给按照id访问顶点在空间上和时间上都创造了极大的方便，也为此参数中为顶点字典而不用顶点列表。添加边的方法 add_edge(vertex1, vertex2, weight) ，其中需要调用Vertex类中设定邻接点的方法。除此之外，Graph类还有一些重载的方法，比如重载contains，这个函数在类似于 3 in list(range(5)) 这样的语句中被调用，比如经常用的，判断某个元素是否在列表内等。重载迭代器__iter__，类似于 for item in list(range(10)): 这样的语句中被调用，有助于图中所有Vertex的遍历。基于迭代器还可以重载字符串化方法__str__。

最后就是Dijkstra算法。关于这个算法的信息准备记录在另一篇随笔中，基本思路是创建一个优先队列（即距离起始点路程从小到大的队列），每次查看列表中路程最短的点A，观察在这个顶点A的邻接点中，是否有可能因为通过顶点A而使得该邻接点的路程缩减。每次这样一轮操作结束以后就从队列中删去这个点A，然后把队列重新排列一遍。在以前课上的学习中，优先队列使用的是二叉堆(Binary Heap)实现，在这里我直接调用了Python内置的sort函数，虽然计算复杂度不敢保证，但是从后面用的实际例子的效率来说也没有任何影响。

 class Graph:
     # 无参数构造函数，vertex_dict为<id(str),Vertex>映射字典
     def __init__(self):
         self.vertex_dict = dict()
         self.vertex_num = 0

     # 增加顶点函数，传入新增顶点id
     def add_vertex(self, name):
         if name not in self.vertex_dict.keys():
             new_vertex = Vertex(name)
             self.vertex_dict[name] = new_vertex
             self.vertex_num = self.vertex_num + 1

     # 增加边函数， 传入顶点1名称、顶点2名称、权重
     def add_edge(self, vertex1, vertex2, weight):
         if vertex1 not in self.vertex_dict:
             self.add_vertex(vertex1)
         if vertex2 not in self.vertex_dict:
             self.add_vertex(vertex2)
         self.vertex_dict[vertex1].add_neighbour(self.vertex_dict[vertex2], weight)
         self.vertex_dict[vertex2].add_neighbour(self.vertex_dict[vertex1], weight)

     # 按照id检索顶点函数，传入id，返回Vertex类
     def get_vertex(self, name):
         if name in self.vertex_dict.keys():
             return self.vertex_dict[name]
         else:
             return None

     # 重载contains方法，传入id，返回bool值
     def __contains__(self, item):
         return item in self.vertex_dict

     # 重载迭代器，返回对应迭代器
     def __iter__(self):
         return iter(self.vertex_dict.values())

     # 重载字符串化方法，返回字符串
     def __str__(self):
         o_str = str()
         for item in self:
             o_str = o_str + str(item) + '\n'
         return o_str

     # Dijkstra算法，传入起点
     def dijkstra_search(self, start):
         # 优先队列priority
         priority = list(self.vertex_dict.values())
         # 起点距离置零
         start.set_distance(0)
         # 优先队列重排
         priority.sort(key=lambda x: x.get_distance(), reverse=True)
         while priority:
             # 重排标记changed，若存在顶点发生distance变化则标记为True
             changed = False
             # 弹出最高优先顶点current
             current = priority.pop()
             # 遍历current邻接顶点
             for vertex_tmp in current.get_connections():
                 dist_tmp = current.get_distance() + current.get_weight(vertex_tmp)
                 # 若发现优势路径则更改邻接顶点的distance和前驱顶点pre
                 if dist_tmp < vertex_tmp.get_distance():
                     vertex_tmp.set_distance(dist_tmp)
                     vertex_tmp.set_pre(current)
                     changed = True
             # 若有更改则重排优先队列
             if changed:
                 priority.sort(key=lambda x: x.get_distance(), reverse=True)

最后，和Dijkstra算法配合还需要一个路径回溯的方法。本来把回溯作为图类的一个方法也可以，但是由于通过访问顶点的pre参数已经可以回溯到上一个Vertex类，中间不涉及到图的操作，因此可以安全地把它写成一个静态方法的形式，即不放在Graph类中：

 # 回溯路径函数，传入参数终点destination，返回路径列表list(Vertex)
 def reverse_trace(destination):
     current = destination
     trace = [destination]
     while current.get_pre():
         current = current.get_pre()
         trace.append(current)
     trace.reverse()
     return trace

这个函数返回的是一个路径中顺序出现的顶点Vertex类列表。

作为图的一个练习和测试，我拿了北京市的地铁信息。首先我在某一个文件夹里新建了编号为line1到line10的10个.txt文件，录入了10条地铁线的信息。后来又新增了13号线和15号线的信息。这些txt里的信息是这样储存的：a）一行一个站名，表示起点站；b）一行一个站名+一个数字，表示一个站和前一站的距离；c）一行两个站名+一个数字，表示两个站之间的距离。然后可以写一个读入的函数，把这些信息读进来，每个站名就是一个id，形成一张图，选定一个起点S以后执行Dijkstra算法，然后选定一个终点D回溯，就得到了从S到D的最短路径。

如果只是想得到站与站之间的最短距离，这个方法当然是合适的；不过，如果考虑到换乘因素，就会发现这个算法没有考虑到换乘的时间代价，这会使得搜索出一些需要换乘很多次的结果，而这在现实生活中并不是最快的。一个改进成本很小的方案是，把每个站所属的线路号码加在站名后面作为id的一部分，比如用“王府井1”作为一个id。同时，利用存储形式c来规定换乘站的间距，比如规定“海淀黄庄4”和“海淀黄庄10”的距离。这样一来就可以考虑换乘代价了。在这个思路下，Graph类相应的读入函数：

 class Graph:
     # 读取顶点文件（适用于地铁路线例子的方法），传入文件路径path和线路编号subway
     def read_in(self, path, subway):
         with open(path, 'r') as file:
             # 按行读取文件
             line = file.readline()
             station = None
             while line:
                 info_list = line.split()
                 # 当行中仅含有1个元素时，仅创建
                 if len(info_list) == 1:
                     station = info_list[0]
                     station = station + str(subway)
                     self.add_vertex(station)
                 # 当行中含有2个元素时，第1个元素为车站名称，第2个元素为距上个车站距离
                 elif len(info_list) == 2:
                     pre_station = station
                     [station, distance] = info_list
                     distance = int(distance)
                     station = station + str(subway)
                     self.add_vertex(station)
                     self.add_edge(pre_station, station, distance)
                 # 否则当行中含有3个元素，前2个元素为车站，第3个元素为前二者间距
                 else:
                     [station1, station2, distance] = info_list
                     distance = int(distance)
                     self.add_edge(station1, station2, distance)
                 line = file.readline()

最后是初始化函数和个人偏爱的交互式菜单代码，仅供参考：

 # 初始化函数（适用于地铁路线例子的方法）
 # 读入在file_path所示文件夹下的北京地铁线数据，返回生成的图
 def initialize():
     graph = Graph()
     file_path = 'D:\Personal Documents\Project\BeijingSubway\line'
     for i in range(1, 11):
         path = file_path + str(i) + '.txt'
         graph.read_in(path, i)
     path = file_path + '13.txt'
     graph.read_in(path, 13)
     path = file_path + '15.txt'
     graph.read_in(path, 15)
     return graph

 # 交互式菜单函数（适用于地铁路线例子的方法），传入图
 def route_find_menu(graph):
     print('>> 寻找乘地铁最短路线，输入0退出')
     start = input('>> 输入起始站名+地铁线（如“王府井1”）：')
     while start != '':
         graph.breadth_first_search(graph.get_vertex(start))
         destination = input('>> 输入终点站名+地铁线（如“王府井1”）：')
         if destination == '':
             break
         trace_list = reverse_trace(graph.get_vertex(destination))
         print([x.get_id() for x in trace_list])
         start = input('>> 输入起始站名：')

最后只要分别调用 graph1 = initialize() 创建实例，并且用 route_find_menu(graph1) 进入菜单即可。