Codeforces 979E Kuro and Topological Parity - 动态规划 - 组合数学

题目传送门

　　传送点

题目大意

　　给定$n$个标号依次为$1, 2, \cdots, n$的点，其中一些点被染成一些颜色，剩下的点没有染色。你需要添加一些有向边并将剩下的点染色，满足有向边从编号小的一端指向编号大的一端，图中所有黑白相错的路径的条数与$p$对2取模同余。

　　$1\leqslant n\leqslant 10^6$

　　想一下如何求DAG中黑白相错的路径的条数。用$g_{i}$表示$i$结尾的路径的条数。

　　考虑怎么转移，枚举前一个点，然后$g_{i} += g_{pre}[col_{pre}\neq col_{i}]$。

　　这里我们希望知道所有点的$g$的和的奇偶性。我们考虑每次加入一个点，我们希望知道它的$g$的奇偶性就能更新了。

　　它更新的时候的奇偶性只与$g_{pre}$的奇偶性以及$g$的颜色有关，因此我们可以将点分为四类：

• 奇黑点，$g_{p} \equiv 1 \pmod{2} \wedge col_{i} = black$
• 偶黑点，$g_{p} \equiv 0 \pmod{2} \wedge col_{i} = black$
• 奇白点，$g_{p} \equiv 1 \pmod{2} \wedge col_{i} = white$
• 偶白点，$g_{p} \equiv 0 \pmod{2} \wedge col_{i} = white$

　　然后假设当前的即将加入的点是白点，那么考虑它的连边

• 之前的白点对它的奇偶性没有影响，所以这之间的边可以任意连。
• 偶黑点对它的奇偶性也没有影响，所以这之间的边可以任意连。
• 考虑奇黑点
  • 如果不存在奇黑点，那么当前点一定是奇白点（它自己的方案）。
  • 如果存在奇黑点，每与一个奇黑点连边就会改变一次奇偶性，那么我们先拿走一个，剩下的任意连，拿走的这一个可以控制这个点方案数的奇偶性（比如考虑这个点之前当前点是奇白点，我希望它是奇白点，那么不连边）。因此恰好一半的任意连边方法使当前点的奇偶性为奇或偶。

　　对黑点可以作类似的讨论，然后我们可以愉快地得出结论：

• 如果当前不存在方案数为奇数的颜色与当前点相反的点，那么之前方案数乘上$2^{i - 1}$转移到当前点方案数为奇数的状态。
• 否则，对于当前点方案数为奇为偶各加上之前方案数乘$2^{i - 2}$。

　　状态用$f_{i, have\_odd\_white, have\_odd\_black, parity}$来表示。

　　时间复杂度$O(n)$。

Code

 /**
  * Codeforces
  * Problem#979E
  * Accepted
  * Time: 31ms
  * Memory: 36100k
  */
 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;

 const int N = , M = 1e9 + ;

 int add(int a, int b) {
     a += b;
     if (a >= M)
         return a - M;
     return a;
 }

 int n, p;
 int ar[N];
 int pow2[N];
 int f[N][N][N][N];
 int C[N][N];
 int Co[N], Ce[N];

 inline void init() {
     scanf("%d%d", &n, &p);
     for (int i = ; i <= n; i++)
         scanf("%d", ar + i);
 }

 inline void prepare() {
     pow2[] = ;
     for (int i = ; i <= n; i++)
         pow2[i] = add(pow2[i - ], pow2[i - ]);

     C[][] = ;
     for (int i = ; i <= n; i++) {
         C[i][] = C[i][i] = ;
         for (int j = ; j < n; j++)
             C[i][j] = add(C[i - ][j], C[i - ][j - ]);
     }

     for (int i = ; i <= n; i++) {
         for (int j = ; j <= n; j++)
             if (j & ) {
                 Co[i] = add(Co[i], C[i][j]);
             } else {
                 Ce[i] = add(Ce[i], C[i][j]);
             }
     }
 }

 inline void solve() {
     f[][][][] = ;
     for (int i = ; i <= n; i++)
         // enmuerating last status
         for (int ob = ; ob < i; ob++)    // odd black
             for (int eb = ; ob + eb < i; eb++)    // even black
                 for (int ow = ; ob + eb + ow < i; ow++) {    // odd white
                     int lans = f[i - ][ob][eb][ow];
                     if (!lans)
                         continue;
                     int ew = i - ob - eb - ow - ;
                     if (ar[i] != ) {    // here painted in white
                         int gama = pow2[ow + ew + eb];
                         f[i][ob][eb][ow] = add(f[i][ob][eb][ow], lans * 1ll * gama % M * Co[ob] % M);
                         f[i][ob][eb][ow + ] = add(f[i][ob][eb][ow + ], lans * 1ll * gama % M * Ce[ob] % M);
                     }

                     if (ar[i] != ) {    // here painted in black
                         int gama = pow2[ew + ob + eb];
                         f[i][ob][eb + ][ow] = add(f[i][ob][eb + ][ow], lans * 1ll * gama % M * Co[ow] % M);
                         f[i][ob + ][eb][ow] = add(f[i][ob + ][eb][ow], lans * 1ll * gama % M * Ce[ow] % M);
                     }
                 }

     int res = ;
     for (int ob = ; ob <= n; ob++)
         for (int eb = ; eb + ob <= n; eb++)
             for (int ow = ; ow + eb + ob <= n; ow++)
                 if (((ob + ow) & ) == p)
                     res = add(res, f[n][ob][eb][ow]);
     printf("%d\n", res);
 }

 int main() {
     init();
     prepare();
     solve();
     return ;
 }

Slower Solution

 /**
  * Codeforces
  * Problem#979E
  * Accepted
  * Time: 31ms
  * Memory: 300k
  */
 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;

 const int N = , M = 1e9 + ;

 int add(int a, int b) {
     a += b;
     if (a >= M)
         return a - M;
     return a;
 }

 int n, p;
 int ar[N];
 int pow2[N];
 int f[N][][][];

 inline void init() {
     scanf("%d%d", &n, &p);
     for (int i = ; i <= n; i++)
         scanf("%d", ar + i);
     pow2[] = ;
     for (int i = ; i <= n; i++)
         pow2[i] = add(pow2[i - ], pow2[i - ]);
 }

 inline void solve() {
     f[][][][] = ;
     for (int i = ; i <= n; i++)
         // enmuerating last status
         for (int hob = ; hob < ; hob++)    // exists odd black or not
             for (int how = ; how < ; how++)    // exists odd white or not
                 for (int par = ; par < ; par++) {
                     int lans = f[i - ][hob][how][par];
                     if (!lans)
                         continue;
                     if (ar[i] != ) {        // here painted in white
                         if (!hob)
                             f[i][][][par ^ ] = add(f[i][][][par ^ ], lans * 1ll * pow2[i - ] % M);
                         else {
                             f[i][][][par ^ ] = add(f[i][][][par ^ ], lans * 1ll * pow2[i - ] % M);
                             f[i][][how][par] = add(f[i][][how][par], lans * 1ll * pow2[i - ] % M);
                         }
                     }

                     if (ar[i] != )    {    // here painted in black
                         if (!how)
                             f[i][][][par ^ ] = add(f[i][][][par ^ ], lans * 1ll * pow2[i - ] % M);
                         else {
                             f[i][][][par ^ ] = add(f[i][][][par ^ ], lans * 1ll * pow2[i - ] % M);
                             f[i][hob][][par] = add(f[i][hob][][par], lans * 1ll * pow2[i - ] % M);
                         }
                     }
                 }
     int res = ;
     for (int x = ; x < ; x++)
         for (int y = ; y < ; y++)
             res = add(res, f[n][x][y][p]);
     printf("%d\n", res);
 }

 int main() {
     init();
     solve();
     return ;
 }