洛谷 P4100 [HEOI2013]钙铁锌硒维生素 解题报告

P4100 [HEOI2013]钙铁锌硒维生素

题目描述

银河队选手名单出来了！小林，作为特聘的营养师，将负责银河队选手参加 宇宙比赛的饮食。

众所周知，前往宇宙的某个星球，通常要花费好长好长的时间，人体情况在 这之间会发生变化，因此，需要根据每天的情况搭配伙食，来保证营养。

小林把人体需要的营养分成了 \(n\) 种，这些营养包括但不限于铁，钙。他准备 了 \(2\) 套厨师机器人，一套厨师机器人有 \(n\) 个，每个厨师机器人只会做一道菜，这道菜一斤能提供第 \(i\) 种营养 \(x_i\) 微克。想要吃这道菜的时候，只要输入一个数，就能吃到对应数量的这道菜了。为防止摄入过量对身体造成的伤害，每个机器人还 有防过量摄入药，只要输入一个数，就能生成一定剂量的药，吃了这些药，就能减少相当于食用对应数目的这道菜提供的营养。

小林之所以准备 \(2\) 套厨师机器人，正是因为旅途漫漫，难以预计，也许某一 个厨师机器人在途中坏掉，要是影响了银河队选手的身体，就不好了。因此，第 \(2\) 套厨师机器人被用来做第 \(1\) 套的备用。小林需要为每一个第 \(1\) 套厨师机器人选 一个第 \(2\) 套厨师机器人作备份，使得当这个机器人坏掉时，用备份顶替，整套厨 师机器人仍然能搭配出任何营养需求，而且，每个第 \(2\) 套厨师机器人只能当一个 第 \(1\) 套厨师机器人的备份。

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第一行包含一个正整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行 \(n\) 个整数，表示第 \(1\) 套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。

再接下来 \(n\) 行，每行 \(n\) 个整数， 表示第 \(2\) 套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。

输出格式：

输出文件的第一行是一个字符串，如果无法完成任务，输出“\(NIE\)”，否则输 出“\(TAK\)”，并跟着 \(n\) 行，第 \(i\) 行表示第 \(i\) 个第 \(1\) 套机器人的备份是哪一个第 \(2\) 套机器人。为了避免麻烦，如果有多种可能的答案，请给出字典序最小的那一组。

说明

对于\(10\%\)的数据，\(n = 2\)；

对于\(20\%\)的数据，\(n ≤ 10\)；

对于\(40\%\)的数据，\(n ≤ 30\)；

对于\(60\%\)的数据，\(n ≤ 50\)；

对于\(80\%\)的数据，\(n ≤ 100\)；

对于\(100\%\)的数据，\(1 ≤ n ≤ 300\)，所有出现的整数均非负，且不超过 \(10,000\)。

---

好题阿

首先\(n\)个\(A\)向量得是向量无关的

然后每个\(B\)向量一定可以被\(A\)向量作为基底表示出来，即\(B=\sum c_iA_i\)，若\(c_i\)不为\(0\)，就说明这个\(B\)必须要\(A_i\)才能被表示，说明去掉这个\(A_i\)后\(B\)与其他\(A\)线性无关，即可以换掉这个\(A\)。

那么\(C*A=B\)，矩阵求个逆把\(C\)搞出来，我们就可以确定替换关系，然后进行二分图匹配。

这时候不一定字典序最小，我们再随便跑跑匹配改一改跑一个最小就可以了。

---

Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int mod=998244353;
const int N=602;
inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int read()
{
	int x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x;
}
int a[N][N],b[N][N],yuu[N][N],yuy[N][N],n;
bool Matrixinv()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i+n]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int id=-1;
		for(int j=i;j<=n;j++) if(a[j][i]) {id=j;break;}
		if(id==-1) return false;
		std::swap(a[i],a[id]);
		int inv=qp(a[i][i],mod-2);
		for(int j=n<<1;j>=i;j--) a[i][j]=mul(a[i][j],inv);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			for(int k=n<<1;k>=i;k--)
				a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(a[j][i],a[i][k]));
	}
	for(int i=n;i;i--)
		for(int j=i-1;j;j--)
			for(int k=n<<1;k>=i;k--)
				a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(a[j][i],a[i][k]));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=a[i][j+n];
	return true;
}
int used[N],mat[N],to[N],ban[N];
bool dfs(int now)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(yuy[now][i]&&!used[i]&&!ban[i])
		{
			used[i]=1;
			if(!mat[i]||dfs(mat[i]))
			{
				mat[i]=now;
				to[now]=i;
				return true;
			}
		}
	return false;
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			b[i][j]=read();
	if(!Matrixinv()) return puts("NIE"),0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=n;k++)
				yuu[i][j]=add(yuu[i][j],mul(b[i][k],a[k][j]));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(yuu[i][j])
                yuy[j][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(used,0,sizeof used);
		if(!dfs(i)) return puts("NIE"),0;
	}
	puts("TAK");
	int tto[N],tmat[N];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(used,0,sizeof used);
		for(int j=1;j<=n;j++) tto[j]=to[j],tmat[j]=mat[j];
		int bee=to[i],flag=0;mat[bee]=0;
		for(int j=1;j<bee;j++)
		    if(yuy[i][j]&&!ban[j]&&!used[j])
            {
                used[j]=1;
                if(!ban[j]&&dfs(mat[j]))
                {
                    to[i]=j,mat[j]=i;
                    flag=1;break;
                }
            }
		if(!flag) for(int j=1;j<=n;j++) to[j]=tto[j],mat[j]=tmat[j];
		ban[to[i]]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",to[i]);
	return 0;
}

---

2019.2.15