MT【204】离散型最值

(联赛一试2006,14)．将2006表示成5个正整数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$之和．记$S=\sum\limits_{1\le i<j\le5}{x_ix_j}$问：
(1) 当$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$取何值时，S取到最大值；
(2) 进一步地，对任意$1\le i,j\le 5$有$|x_i-x_j|\le 2,$当$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$取何值
时,S取到最小值. 说明理由．

分析:

第一问这里需要说明取到最大值时$|x_i-x_j|\le1$,

假如存在$|x_i-x_j|\ge2$不妨设$|x_1-x_2|\ge2,x_1\le x_2$,令$x'_1=x_1+1,x'_2=x_2-1,x'_i=x_i,(i=3,4,5)$,
注意到:
$\sum\limits_{1\le i<j\le5}{x_ix_j}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{5}{x_i}^2-\sum\limits_{i=1}^{5}{x^2_i}}{2}$
则$S'-S=\dfrac{x^2_1+x^2_2-x_1'^2-x_2'^2}{2}=x_2-x_1+1\ge3$所以取到最大值时$|x_i-x_j|\le1$,
故容易得到取$401,401,401,401,402$时候S最大.第二小问可以在第一小问基础上调整.