Matlab:高阶常微分三种边界条件的特殊解法（中心差分法，高精度导数边界处理）

函数文件1：

 function b=F(f,x0,h,N)
 %       b(1,1)=x0(1)-h*x0(2)-u(1);
 %       b(2,1)=x0(2)+h*x0(1)^2-u(2)-h*f;
 b=zeros(N,1);
 b(1,1)=4*x0(1)-x0(2);
 b(2,1)=h^2*x0(1)^2-2*x0(1)+x0(2)-h^2*f(1)
 for i=3:N
     b(i,1)=x0(i-2)+h^2*x0(i-1)^2-2*x0(i-1)+x0(i)-h^2*f(i-1);
 end

函数文件2：

 function g=Jacobian(x0,h,N)
 %   g(1,1)=1;
 %   g(1,2)=-h;
 %   g(2,1)=2*h*x0(1);
 %   g(2,2)=1;
 g=zeros(N);
 g(1,1)=4;
 g(1,2)=-1;
 g(2,1)=2*h^2*x0(1)-2;
 g(2,2)=1;
 for i=3:N
 g(i,i-2)=1;
 g(i,i-1)=2*h^2*x0(i-1)-2;
 g(i,i)=1;
 end

函数文件3：

 function x=newton_Iterative_method(f,u,h,N)
  % u：上一节点的数值解或者初值
  % x0 每次迭代的上一节点的数值
  % x1 每次的迭代数值
  % tol 允许误差
  % f 右端函数
 x0=u;
 tol=1e-11;
 x1=x0-Jacobian(x0,h,N)\F(f,x0,h,N);
 while (norm(x1-x0,inf)>tol)
     %数值解的2范数是否在误差范围内
     x0=x1;
     x1=x0-Jacobian(x0,h,N)\F(f,x0,h,N);
 end
 x=x1;%不动点

脚本文件:

 tic;
 clear
 clc
 N=100;
 h=1/N;
 x=0:h:1;
 y=inline('x.^2.*sin(x).^2+2*cos(x)-x.*sin(x)');
 fun1=inline('x.*sin(x)');
 Accurate=fun1(x);
 f=y(x(2:N));
 Numerical=zeros(N+1,1);
 Numerical(2:end,1)=newton_Iterative_method(f,Numerical(2:end,1),h,N);
 error=Numerical-Accurate';
 subplot(1,3,1)
 plot(x,Accurate);
 xlabel('x');
 ylabel('Accurate');
 grid on
 subplot(1,3,2)
 plot(x,Numerical);
 xlabel('x');
 ylabel('Numerical');
 grid on
 subplot(1,3,3)
 plot(x,error);
 xlabel('x');
 ylabel('error');
 grid on
 toc;

效果图：