Matlab:非线性高阶常微分方程的几种解法

一、隐式Euler：

函数文件1：

 function b=F(t,x0,u,h)
       b(,)=x0()-h*x0()-u();
       b(,)=x0()+*h*x0()/t+*h*(*exp(x0())+exp(x0()/))-u();

函数文件2：

 function g=Jacobian(x0,t,h)
   g(,)=;
   g(,)=-h;
   g(,)=*h*(*exp(x0())+0.5*exp(x0()/));
   g(,)=+*h/t; 

函数文件3：

 function x=newton_Iterative_method(t,u,h)
  % u：上一节点的数值解或者初值
  % x0 每次迭代的上一节点的数值
  % x1 每次的迭代数值
  % tol 允许误差
  % f 右端函数
 x0=u;
 tol=1e-;
 x1=x0-Jacobian(x0,t,h)\F(t,x0,u,h);
 while (norm(x1-x0,inf)>tol)
     %数值解的2范数是否在误差范围内
     x0=x1;
     x1=x0-Jacobian(x0,t,h)\F(t,x0,u,h);
 end
 x=x1;%不动点

脚本文件：

 tic;
 clear all
 clc
 N=[     ];
 for j=:length(N)
 h=/N(j);
 x=:h:;
 y=inline('-2*log(1+x.^2)','x');
 Accurate=y(x);
 Numerical=zeros(,N(j)+);
 for i=:N(j)
  Numerical(:,i+)=newton_Iterative_method(x(i+),Numerical(:,i),h);
 end
 error(:N(j)+,j)=Numerical(,:)-Accurate;
 figure(j)
 subplot(,,)
 plot(x,Accurate);
 xlabel('x');
 ylabel('Accurate');
 grid on
 subplot(,,)
 plot(x,Numerical(,:));
 xlabel('x');
 ylabel('Numerical');
 grid on
 subplot(,,)
 plot(x,error(:N(j)+,j));
 xlabel('x');
 ylabel('error');
 title(/N(j));
 grid on
 end
 for k=:length(N)
     X=norm(error(:,k),inf)/norm(error(:,),inf);
     H=N()/N(k);
 Y(k-)=log(X)/log(H);
 end
 figure(length(N)+)
 plot(:length(N)-,Y,'-r v');
 ylabel('误差阶数');
 title('误差阶数');
 toc;

效果图：

二、变步长的隐式Euler方法：

函数文件1：

 function b=F(t,x0,u,h)
       b(,)=x0()-h*x0()-u();
       b(,)=t*x0()+*h*x0()+*h*t*(*exp(x0())+exp(x0()/))-t*u();

函数文件2：

 function g=Jacobian(x0,t,h)
   g(,)=;
   g(,)=-h;
   g(,)=*h*t*(*exp(x0())+0.5*exp(x0()/));
   g(,)=t+*h; 

函数文件3：

 function x=Euler(t,u,h)
  % u：上一节点的数值解或者初值
  % x0 每次迭代的上一节点的数值
  % x1 每次的迭代数值
  % tol 允许误差
  % f 右端函数
 x0=u;
 tol=1e-;
 x1=x0-Jacobian(x0,t,h)\F(t,x0,u,h);
 while (norm(x1-x0,inf)>tol)
     %数值解的2范数是否在误差范围内
     x0=x1;
     x1=x0-Jacobian(x0,t,h)\F(t,x0,u,h);
 end
 x=x1;%不动点

脚本文件：

 tic;
 clear
 clc
 y(:,)=[;];%初值
 e=1e-;%误差过小
 tol=1e-;%指定的误差
 N=;%节点的步数
 h=/N;%初始步长
 t=:h:;
 i=;
 while t(i)<=
     k=;
     while k==
     y(:,i+)=Euler(t(i)+h,y(:,i),h);%符合误差的数值解
 % y1_half=Euler(h/,y(:,i));%半步长的中点数值解
  y1_half=Euler(t(i)+h,y(:,i),h/);%半步长的右端点的数值解
  y1_one=Euler(t(i)+h,y1_half,h/);
 Estimate_error=*norm(y(:,i+)-y1_one);%中间估计误差
 if Estimate_error<tol%指定误差
     k=;%步长相差不大，或者说正好在指定的误差范围内，则确定选择h作为步长。
 elseif Estimate_error<e%误差过小
     h=*h;
 else%近似估计误差大于指定误差
     h=h/;
 end
     end
    t(i+)=t(i)+h;
    i=i+;
 end
 f=inline('-2*log(1+x.^2)','x');
 Accurate=f(t);
 subplot(,,)
 plot(t,y(,:));
 xlabel('t');ylabel('numerical');
 title('the image of numerical solution');
 grid on ;
 subplot(,,)
 plot(t,Accurate);
 xlabel('t');ylabel('Accurate');
 title('the image of Accurate solution');
 grid on ;
 subplot(,,)
 plot(t,y(,:)-Accurate);
 xlabel('t');ylabel('error');
 title('the image of error solution');
 grid on ;
 toc;

效果图：

中心差分法：

函数文件1：

 function b=F(t,x0,h,N)
 b(,)=*x0()-x0();
 b(,)=-*x0()+*h^*(*exp(x0())+exp(x0()/))+(+h/t())*x0();
 for i=:N-
     b(i+,)=(-h/t(i+))*x0(i-)-*x0(i)+*h^*(*exp(x0(i))+exp(x0(i)/))+(+h/t(i+))*x0(i+);
 end

函数文件2：

 function g=Jacobian(t,x0,h,N)
 g(,)=;
 g(,)=-;
 g(,)=-+*h^*(*exp(x0())+/*exp(x0()/));
 g(,)=+h/t();
 for i=:N-
 g(i+,i-)=-h/t(i+);
 g(i+,i)=-+*h^*(*exp(x0(i))+/*exp(x0(i)/));
 g(i+,i+)=+h/t(i+);
 end

函数文件3：

 function x=newton_Iterative_method(t,u,h,N)
  % u：上一节点的数值解或者初值
  % x0 每次迭代的上一节点的数值
  % x1 每次的迭代数值
  % tol 允许误差
  % f 右端函数
 x0=u;
 tol=1e-;
 x1=x0-Jacobian(t,x0,h,N)\F(t,x0,h,N);
 while (norm(x1-x0,inf)>tol)
     %数值解的2范数是否在误差范围内
     x0=x1;
     x1=x0-Jacobian(t,x0,h,N)\F(t,x0,h,N);
 end
 x=x1;%不动点

脚本文件：

 tic;
 clear
 clc
 N=[,,,,,,];
 for k=:length(N)
 h=/N(k);
 x=:h:;
 fun1=inline('-2*log(1+x.^2)');
 for i=:length(x)
 Accurate(i,)=fun1(x(i));
 end
 Numerical=zeros(N(k)+,);
 Numerical(:end,)=newton_Iterative_method(x,Numerical(:end,),h,N(k));
 error=Numerical-Accurate;
 error_inf(k)=norm(error,inf);
 figure(k)
 subplot(,,)
 plot(x,Accurate);
 xlabel('x');
 ylabel('Accurate');
 grid on
 subplot(,,)
 plot(x,Numerical);
 xlabel('x');
 ylabel('Numerical');
 grid on
 subplot(,,)
 plot(x,error);
 xlabel('x');
 ylabel('error');
 grid on
 end
 for i=:length(N)
 INF(i-)=log2(error_inf(i-)/error_inf(i));
 end
 figure(length(N)+)
 plot(:length(N)-,INF,'-rh');
 xlabel('x');
 ylabel('误差阶数');
 title('非线性高阶常微分差分格式误差阶');
 grid on
 toc;

效果图：