洛谷 P5596 【XR-4】题 题解

原题链接

本题只要 推式子 就可以了。

\[y^2-x^2=ax + b
\]

\[a x + x^2 = y^2 - b
\]

\[4 x^2 + 4 ax = 4 y^2 - 4b
\]

\[(2x+a)^2-a^2=4y^2-4b
\]

\[(2x+a)^2-4y^2=a^2-4b
\]

\[(2x+a+2y)(2x+a-2y)=a^2-4b
\]

到这里，式子推完了。 用到了一些因式分解、配方、移项等的知识，应该不算难吧。

而我们已知 \(a\) 和 \(b\).

此时只需要枚举 \(a^2-4b\) 的因子个数。但你会发现，不是所有的因子都可以满足 有正整数解的。

比方说现在 \(a^2-4b=u \times v(u \leq \sqrt{a^2-4b})\)，此时有：

\[2x+a-2y=u,2x+a+2y=v
\]

即：

\[2x+a=\frac{u+v}{2},y=\frac{v-u}{4}
\]

显然需要满足的是：

\[2|u+v , 4|v-u , u=a \bmod 2 , v=a \bmod 2
\]

然后枚举即可。

时间复杂度： \(O(\sqrt {a^2-4b})\)

但是，对于\(a=10^8\)，\(b=0\)，很有可能会超时。

这时，观察两个性质：

\[u=a \bmod 2 , v=a \bmod 2
\]

所以每次 \(u\) 和 \(v\) 的枚举 \(+2\) 即可。 也就是它们的奇偶性和\(a\)一样。

虽然常数上就是 \(\frac{1}{2}\) ，但是事实说明在超时的边缘，这还是很重要的。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int main(){
	ll a=read(),b=read();
	ll x=a*a-4*b,ans=0;
	if(!x) {printf("inf");return 0;}
	for(ll i=(a+1)%2+1;i*i<=abs(x);i+=2){
		if(x%i) continue;
		ll u=i,v=abs(x/i);
		if(x<0) u=-u;
		if((v-u)%4) continue;
		if(v-(v-u)/2<a) break;
		ans++;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}