论 <解方程>

题面：
求n次整系数方程\(\sum_{i=1}^{n} a_ix^i = 0\)在区间\([1,m]\)上的整数解

解法：

1.暴力

O(NM) 暴力枚举+解方程

2.假设只要求一个解

瞎搞做法

引入参数T,选取T的整数倍作为标志点，在两个标志点间用勘根

时间复杂度O(\frac{T}{M} \time T) ， 取\(T = \sqrt{M}\)时最优

3.假设\(a_i\)很小

由整数方程解的性质，设该解为\(\frac{p}{q}\)，可得

• \(q|a_1\)
• \(p|a_n\)
• \(q|p\)

做法1: 枚举\(a_i\)的所有因子

做法2: 只用枚举a_1,a_n共有的所有质因子，降为\(O(log a_1)\)

那么总时间复杂度\(O(nloga_1+n)=O(nloga_1)\)