【学习】fhq-treap

fhq-treap 是一种好写、复杂度低，且功能的优秀数据结构，涵盖了 treap 几乎所有的功能，其巧妙之处，就在于运用分离和合并两种操作代替了旋转操作。

1. BST 的定义

（摘自 OI Wiki）二叉搜索树（BST）是一种二叉树的树形数据结构，其定义如下：

• 空树是 BST
• 若 BST 左子树不为空，则其左子树上所有点的附加权值均小于根节点。
• 若 BST 右子树不为空，则其右子树上所有点的附加权值均大于根节点。
• BST 的左右子树均为 BST。

2. fhq-treap

2.1 需要存储的信息

左儿子 ls，右儿子 rs，子树大小 sz，权值 val 维护 tree 的性质，及随机优先级 key 维护 heap 的性质。

大体同 treap 相同，但 fhq-treap 不需要记录 val 重复次数 cnt，因为一般情况下，它不将权值相同节点视作一个节点。

2.2 更新答案 sz[x] = sz[ls[x]] + sz[rs[x]] + 1;

2.3 基础操作：分裂、合并与新建节点

2.3.1 分裂 split

1. 按照权值大小分裂

将原树 \(T\) 分成左右两个子树 \(T_l\), \(T_r\)。设当前节点为 \(p\):

\[1':\ val_p\leq v, p\in T_l,\ split\ rs_p\\
2':\ val_p> v, p\in T_r,\ split\ ls_p
\]

当 \(p=0\) 时停止 split。

void split(int p, int v, int &x, int &y) {
  if (!p) {x = y = 0; return ;}
  if (val[p] <= v) x = p, split(rs[p], v, rs[x], y);
  else y = p, split(ls[p], v, x, ls[y]);
  sz[p] = sz[ls[p]] + sz[rs[p]] + 1;
}

1. 按照子树大小分裂

同理。

void split(int p, int v, int &x, int &y) {
  if (!p) {x = y = 0; return ;}
  if (v <= sz[ls[p]]) x = p, split(rs[p], v, rs[x], y);
  else y = p, split(ls[p], v, x, ls[y]);
  sz[p] = sz[ls[p]] + sz[rs[p]] + 1;
}

2.3.2 合并 merge

条件：合并的两棵树 \(T_x\) 和 \(T_y\) 必须满足一棵严格小于另一棵，此处设 \(T_x<T_y\)。

\[1': key_x>key_y, fa_y=x, rs_x\leftarrow merge(rs_x,y)
2': key_x\leq key_y, fa_x=y, ls_y\leftarrow merge(x,ls_y)
\]

当 \(x,y\) 不全非空停止 merge，使用类似线段树合并 trick，返回 \(x \or y\)

int merge(int x, int y) {
  if (!x || !y) return x | y;
  if (key[x] < key[y]) {
    ls[y] = merge(x, ls[y]), sz[y] = sz[ls[y]] + sz[rs[y]] + 1;
    return y;
  } else {
    rs[x] = merge(rs[x], y), sz[x] = sz[ls[x]] + sz[rs[x]] + 1;
    reutrn x;
  }
}

2.3.1 新建节点

int nd(int v) {
  int x = node++;
  val[x] = v, rd[x] = rand(), sz[x] = 1;
  return x;
}

2.4 更多基础功能

见普通平衡树模板题 P3369 【模板】普通平衡树

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5, inf = 1e9 + 7;
int n, m, rt, node, ls[N], rs[N], val[N], rd[N], sz[N];
void push(int x) {sz[x] = sz[ls[x]] + sz[rs[x]] + 1;}
void spl(int p, int v, int &x, int &y) {
	if (!p) {x = y = 0; return ;}
	if (val[p] <= v) x = p, spl(rs[p], v, rs[x], y);
	else y = p, spl(ls[p], v, x, ls[y]);
	push(p);
}
int mer(int x, int y) {
	if (!x || !y) return x | y;
	if (rd[x] < rd[y]) {
		ls[y] = mer(x, ls[y]), push(y);
		return y;
	} else {
		rs[x] = mer(rs[x], y), push(x);
		return x;
	}
}
int nd(int v) {
	int x = ++node;
	val[x] = v, rd[x] = rand(), sz[x] = 1;
	return x;
}
void ins(int v) {
	int x = 0, y = 0;
	spl(rt, v - 1, x, y), rt = mer(mer(x, nd(v)), y);
}
void del(int v) {
	int x = 0, y = 0, z = 0;
	spl(rt, v, x, z), spl(x, v - 1, x, y);
	y = mer(ls[y], rs[y]), rt = mer(mer(x, y), z);
}
int kth(int k) {
	int p = rt;
	while (1) {
		if (k <= sz[ls[p]]) p = ls[p];
		else if (k == sz[ls[p]] + 1) return val[p];
		else k -= sz[ls[p]] + 1, p = rs[p];
	}
}
int pre(int v){
	int p = rt, ans = 0;
	while (1) {
		if (!p) return ans;
		else if (v <= val[p]) p = ls[p];
		else ans = val[p], p = rs[p];
	}
}
int suc(int v) {
	int p = rt, ans = 0;
	while (1) {
		if (!p) return ans;
		else if (v >= val[p]) p = rs[p];
		else ans = val[p], p = ls[p];
	}
}
int rnk(int v) {
	int x = 0, y = 0, ans = 0;
	spl(rt, v - 1, x, y), ans = sz[x] + 1;
	return rt = mer(x,y), ans;
}
int main(){
	cin >> n;
	while (n--) {
		int op, x;
		cin >> op >> x;
		if (op == 1) ins(x);
		else if (op == 2) del(x);
		else if (op == 3) cout << rnk(x) << endl;
		else if (op == 4) cout << kth(x) << endl;
		else if (op == 5) cout << pre(x) << endl;
		else cout << suc(x) << endl;
	}
	return 0;
}

学习资料：

1. fhq-treap by Alex_Wei

2. fhq-treap by 粉兔

3. OI Wiki