AGC007F 题解

题意

给定两个长为 \(n\) 的字符串 \(S, T\)，求最少进行多少次操作才能使 \(S = T\)。

一次操作定义为：对于 \(i = 1, 2, .. n\)，令第 \(i\) 位为操作后的第 \(i - 1\) 位或操作前的第 \(i\) 位。（\(i = 1\) 时只能第二种）

分析

赛时想了一个假的贪心，想到设 \(pos_i\) 为在答案中 \(T_i\) 是由 \(S_{pos_i}\) 贡献的，可以发现 \(\forall 1\le i < n, pos_i\le pos_{i + 1}\)，而且若 \(i < j\) 有交，一定先操作完 \(j\)。

这个思路看上去没有问题，但是后面的结论是错的，当时我这样想的原因是：若 \(i\) 先操作完，\(j\) 就没有了，但真的是这样吗，可以 \(pos_i\) 先操作到 \(pos_j - 1\)，\(pos_j\) 操作到 \(i + 1\) 及之后。

错误原因：并没有做到最优，能早点完成的操作放在了后面做。

Update:破案了，这道题明显是倒着做消除后效性，直接贪这么后效怎么做。倒着做好写多了/kel

考虑已经得到了 \(pos_i\)（对于 \(i\) 找第一个 \(j\) 使得 \(s_j = t_i\) 且 \(j \le pos_{i + 1}\)），相当于 \(S = 1, 2, ... n\)，\(T = pos_1, pos_2, ..., pos_n\)，每次我们尽量往右扩展，然后给有用的留 1 个让它往右扩展，发现这样一定是最优的。

考虑怎么维护这个，先把无用的去掉，把相同的 S 缩到一起，每次从右往左，依次进行 把当前区间缩到只有右端点，把右端点尽量向右扩展 的流程，这是好维护的。

考虑为什么对

1. 可以根据贪心过程逆推操作
2. 已经是最贪的了

考虑怎么维护，找规律，发现进行了 \(j\) 次操作后，当前区间 \(i\) 的 \(R_i = R_{i + j} - j\)。令 \(R_j(j > n) = +\inf\) 即可。