图论：Prufer编码

BZOJ1211：使用prufer编码解决限定结点度数的树的计数问题

首先学习一下prufer编码是干什么用的

prufer编码可以与无根树形成一一对应的关系

一种无根树就对应了一种prufer编码

先介绍编码过程：

选择无根树中度数为1的最小编号节点（也就是编号最小的叶子节点），将其删除，把它的邻接点加入数组

不断执行上述操作直到树中仅剩两个节点

解码过程：

顺序扫描prufer编码数组，将扫到的第一个节点记为节点u,寻找不在prufer编码中的没有被标记的最小编号的节点v

连接u-v并把v标记，将u从prufer编码数组删除并扫描下一个节点

性质：

一个点的入度为d,那么它最多有可能在prufer编码中出现d-1次

prufer编码一共有n-2个数字，每个相同的数字出现d-1次

针对这道题，如果我们给出了每个点的度数要求，那么满足要求的树的个数就是可生成的不同的prufer编码的个数：

(n - ) ! / ( (d1 - )! (d2 - )! ……(dn - )! ) 

这样就是答案了

下面介绍题目的实现方法（这个题比较简单，只是借助了prufer编码的性质进行计数，不涉及编码和解码的过程）

const int maxn=;
int n,tot,cnt;
int pri[maxn],d[maxn],num[maxn];
long long ans=;
long long s[];

tot用来统计prufer编码中应有的节点数，看是否满足等于n-2

cnt用来计数素数的个数，便于分解质因数

pri里存的的是每一个质数，num里存的是质数出现的次数

s用来预处理阶乘

抛开这道题，我们重点应该学一学这个分解质因数的方法

void solve(long long x,int f)  //按照指数分解质因数
{
    for(int i=;i<=cnt;i++)
    {
        if(x<=) return;
        while(x%pri[i]==) {num[i]+=f;x/=pri[i];}
    }
}

满足题目的需求，直接计数即可：

    solve(s[n-],);  //计算阶乘并将结果分解质因数
    for(int i=;i<=n;i++) solve(s[d[i]],-); //同上
    for(int i=;i<=cnt;i++)
        while(num[i]--) ans*=pri[i];  //统计结果
    printf("%lld",ans);

下面给完整的代码：

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 const int maxn=;
 int n,tot,cnt;
 int pri[maxn],d[maxn],num[maxn];
 long long ans=;
 long long s[];
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') {if(ch=='-')f=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<='') {x*=;x+=ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 bool jud(int x)
 {
     for(int i=;i<=sqrt(x);i++)
     if(x%i==) return ;
     return ;
 }
 void getpri()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     if(jud(i)) pri[++cnt]=i;
 }
 void solve(long long x,int f)  //按照指数分解质因数
 {
     for(int i=;i<=cnt;i++)
     {
         if(x<=) return;
         while(x%pri[i]==) {num[i]+=f;x/=pri[i];}
     }
 }
 int main()
 {
     s[]=;
     for(int i=;i<=;i++) s[i]=s[i-]*i;
     getpri();
     n=read();
     if(n==)
     {
         int x=read();
         if(x==) printf("");
         else printf("");
         return ;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         d[i]=read();
         if(d[i]==) {printf("");return ;}
         d[i]--;
         tot+=d[i];
     }
     if(tot!=n-) {printf(""); return ;}
     solve(s[n-],);  //计算阶乘并将结果分解质因数
     for(int i=;i<=n;i++) solve(s[d[i]],-); //同上
     for(int i=;i<=cnt;i++)
         while(num[i]--) ans*=pri[i];  //统计结果
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }