[HNOI 2010]chorus 合唱队

Description

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对于一个包含 \(N\) 个整数的数列 \(A\) ，我们可以把它的所有元素加入一个双头队列 \(B\) 。

首先 \(A_1\) 作为队列的唯一元素，然后依次加入 \(A_2\sim A_N\) ，如果 \(A_i<A_{i-1}\) 那么从 \(B\) 的左端加入 \(A_i\) ，否则从 \(B\) 的右端加入 \(A_i\) 。

给出最终的队列 \(B\) ，求原数列有多少种可能排列。输出答案对 \(19650827\) 取余。

\(1\leq N\leq 1000\leq B_i\leq 2000\) ，没有重复数。

Solution

由于每次只会在队列的两端进行加入操作， \(A_1\sim A_i\) 必然是最终队列 \(B\) 上的连续一段。这就是本题的关键思路。至此很容易想到区间模型的动态规划。

\(f[l][r][0]\) 表示：生成队列 \(B\) 上面 \(l\) 到 \(r\) 的区间，且最后一个数在 \(l\) 的排列有多少种。
\(f[l][r][1]\) 表示：生成队列 \(B\) 上面 \(l\) 到 \(r\) 的区间，且最后一个数在 \(r\) 的排列有多少种。

转移的时候讨论这一个和前一个的大小关系即可。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define dob complex<double>
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int yzh = 19650827, N = 1000;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void print(int x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }
void write(int x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

int f[N+5][N+5][2], n, a[N+5];

void work() {
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]), f[i][i][0] = f[i][i][1] = 1;
    for (int len = 2; len <= n; len++)
    for (int i = 1; i+len-1 <= n; i++) {
        int j = i+len-1;
        f[i][j][0] = (f[i+1][j][0]*(a[i] < a[i+1])+f[i+1][j][1]*(a[i] < a[j])*(j != i+1))%yzh;
        f[i][j][1] = (f[i][j-1][0]*(a[j] > a[i])+f[i][j-1][1]*(a[j] > a[j-1])*(j != i+1))%yzh;
    }
    writeln((f[1][n][0]+f[1][n][1])%yzh);
}
int main() {
    work(); return 0;
}