【luogu P4007 清华集训2017】小Y和恐怖奴隶主

题目背景

“A fight? Count me in!” 要打架了，算我一个。

“Everyone, get in here!” 所有人，都过来！

题目描述

小 Y 是一个喜欢玩游戏的 OIer。一天，她正在玩一款游戏，要打一个 Boss。

虽然这个 Boss 有 10100 点生命值，但它只带了一个随从—---一个只有 m 点生命值的 ‘‘恐怖的奴隶主’’。

这个 ‘‘恐怖的奴隶主’’ 有一个特殊的技能：每当它被扣减生命值但没有死亡（死亡即生命值 ≤ 0），且 Boss 的随从数量小于上限 k，便会召唤一个新的具有 m 点生命值的‘恐怖的奴隶主’’。

现在小 Y 可以进行 n 次攻击，每次攻击时，会从 Boss 以及 Boss 的所有随从中的等概率随机选择一个，并扣减 1 点生命值，她想知道进行 n 次攻击后扣减 Boss 的生命值点数的期望。为了避免精度误差，你的答案需要对 998244353 取模。

输入输出格式

输入格式：

从文件 patron.in 中读入数据。

输入第一行包含三个正整数 T; m; k， T 表示询问组数， m; k 的含义见题目描述。

接下来 T 行，每行包含一个正整数 n，表示询问进行 n 次攻击后扣减 Boss 的生命

值点数的期望。

输出格式：

输出到文件 patron.out 中。

输出共 T 行，对于每个询问输出一行一个非负整数，表示该询问的答案对 998244353取模的结果。

可以证明，所求期望一定是一个有理数，设其为 p/q（gcd(p; q) = 1），那么你输出的数 x 要满足 p ≡ qx (mod 998244353)。

题意：一个boss，初始带了一个小怪兽(满血为m 1->3)，你打一下小怪兽（-1）如果它没死并且当前怪兽数不超过上限k(1-9)，就会召唤另一个满血的小怪兽，或者你打一下boss对它造成1的伤害，它比较自信，不会再召唤什么奇怪的东东，求n轮（n<=1e18）对怪兽伤害的期望；

题解：

①让我们来观察一下诡异的数据范围：1e18 8 3 ，矩阵幂优化dp吧。。。。

②dp[h,i,j,k] 表示第h轮，血量为1 2 3 的怪兽个数为 i j k 的概率，再打一次伤害期望贡献为$\frac{dp[h,i,j,k]}{i+j+k+1}$,同时转移到其他状态的概率是$\frac{1}{i+j+k+1}$；省去h，把 dp[i,j,k] 重新定义成长度为1*tot的行矩阵，再定义一个tot*tot的矩阵，初始时tot*tot的矩阵可以dp推出，上快速幂

③统计答案，因为打怪兽和打boss是等概率的，比较方便的是再多加一位tot+1，A[tot+1][tot+1] = 1，这样就可以统计每一次的答案，最后输出ans[tot+1]即可;

④比较重要的是复杂度，根据插隔板的原理(详见白书P104)  $tot = \sum_{i=2}^{10}C_{i}^{2} = 165$ $O(tot^{3}log n*T)$。 倍增预处理后面的(tot+1)*(tot+1)的矩阵的2^k把复杂度里的*T换成+T*lg n就好了；

⑤卡常(心累)：其它奇技淫巧就不赘述了，主要是在矩阵乘法的时可以先用一个大数lim = k*mod(k∈Z)，超了就减去lim，最后再取模(异常缓慢的取模运算)。

 //#pragma GCC optimize(2)
 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #define ll unsigned long long
 using namespace std;
 const int mod=;
 const ll lim=16940360401038606353llu;
 int T,m,p,ans[],tot,id[][][],inv[];
 ll n;
 struct Mat{
     ll v[][];
     Mat(){memset(v,,sizeof(v));}
     ll *operator[](int a){return v[a];}
     Mat operator *(const Mat &a){
         Mat ret;
         for(int i=;i<=tot+;i++)
         for(int j=;j<=tot+;j++){
             for(int k=;k<=tot+;k++){
                 ret.v[i][j]+=v[i][k]*a.v[k][j];
                 if(ret.v[i][j]>=lim) ret.v[i][j]-=lim;
             }
             ret.v[i][j]%=mod;
         }
     return ret;
     }
 }A[];///
 char gc(){
     static char *p1,*p2,s[];
     if(p1==p2) p2=(p1=s)+fread(s,,,stdin);
     return(p1==p2)?EOF:*p1++;
 }//
 ll rd(){
     ll x=; char c=gc();
     while(c<''||c>'') c=gc();
     while(c>=''&&c<='') x=x*+c-'',c=gc();
     return x;
 }//
 void pre(){
     inv[]=;for(int i=;i<=p+;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
     for(int i=;i<=p;i++)
     for(int j=;j<=(m>?p-i:);j++)
     for(int k=;k<=(m>?p-i-j:);k++)
         id[i][j][k] = ++tot;
     for(int i=;i<=p;i++)
     for(int j=;j<=(m>?p-i:);j++)
     for(int k=;k<=(m>?p-i-j:);k++){
         int np=id[i][j][k],nk=(i+j+k<p),ni=inv[i+j+k+];
         if(m==)  if(i) A[][np][id[i-][j][k]] = 1ll*i*ni%mod;
         if(m==) {
             if(i) A[][np][id[i-][j][k]] = 1ll*i*ni%mod;
             if(j) A[][np][id[i+][j-+nk][k]] = 1ll*j*ni%mod;
         }
         if(m==) {
             if(i) A[][np][id[i-][j][k]] = 1ll*i*ni%mod;
             if(j) A[][np][id[i+][j-][k+nk]] = 1ll*j*ni%mod;
             if(k) A[][np][id[i][j+][k-+nk]] = 1ll*k*ni%mod;
         }
         A[][np][np]=A[][np][tot+]=ni;
     }
     A[][tot+][tot+]=;
     for(int i=;i<=;i++) A[i]=A[i-]*A[i-];
 }///
 void mul(int *ans,Mat M){
     ll ret[];
     for(int j=;j<=tot+;j++){
         ret[j] = ;
         for(int k=;k<=tot+;k++) {
             ret[j] += ans[k] * M.v[k][j];
             if(ret[j]>=lim) ret[j] -=lim;
         }
         ret[j] %= mod;
     }
     for(int j=;j<=tot+;j++) ans[j]=ret[j];
 }///
 int main()
 {   freopen("mzoj1121.in","r",stdin);
     freopen("mzoj1121.out","w",stdout);
     T=rd(); m=rd(); p=rd();
     pre();
     while(T--){
         n=rd();
         memset(ans,,sizeof(ans));
         if(m==) ans[id[][][]]=;
         else if(m==) ans[id[][][]]=;
         else ans[id[][][]]=;
         for(int i=;i>=;i--) if(n>>i&) mul(ans,A[i]); //
         printf("%d\n",ans[tot+]);
     }
     return ;
 }//by tkys_Austin;