【PowerOJ1751&网络流24题】数字梯形问题（费用流）

题意：

思路：

【问题分析】

求图的最大权不相交路径及其变种，用费用最大流解决。

【建模方法】

规则(1)

把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S汇T。

1、对于每个点i从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i权值的有向边。

2、从S向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。

3、从梯形底层每个<i.b>向T连一条容量为1，费用为0的有向边。

4、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(2)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。

1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。

3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为1，费用为点i权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(3)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。

1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。

3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为无穷大，费用为点i权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

【建模分析】

对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任意一条ST之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求

最大费用最大流就是费用最大的m条路经。

对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S向顶层点流量限制也为1。费用只需

设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。

对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S到顶层顶点之间的边以外所有边的流量限制即可。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned int uint;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef long double ld;
 typedef pair<int,int> PII;
 typedef pair<ll,ll> Pll;
 typedef vector<int> VI;
 typedef vector<PII> VII;
 typedef pair<ll,ll>P;
 #define N  100010
 #define M  1000000
 #define INF 1e9
 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define pb push_back
 #define pi acos(-1)
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
 #define lowbit(x) x&(-x)
 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
 #define ls p<<1
 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;
       double eps=1e-;
       int dx[]={-,,,};
       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[N],len1[N],len2[N],nxt[N],dis[N],q[N],inq[N],a[][],
     num[][][],pre[N][],s,S,T,tot,ans1,ans2,n,m;

 int read()
 {
    int v=,f=;
    char c=getchar();
    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
    return v*f;
 }

 void add(int a,int b,int c,int d)
 {
     nxt[++tot]=head[a];
     vet[tot]=b;
     len1[tot]=c;
     len2[tot]=d;
     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];
     vet[tot]=a;
     len1[tot]=;
     len2[tot]=-d;
     head[b]=tot;
 }

 int spfa()
 {
     rep(i,,s)
     {
         dis[i]=-INF;
         inq[i]=;
     }
     int t=,w=;
     q[]=S; dis[S]=; inq[S]=;
     while(t<w)
     {
         t++; int u=q[t%(s+)]; inq[u]=;
         int e=head[u];
         while(e)
         {
             int v=vet[e];
             if(len1[e]&&dis[u]+len2[e]>dis[v])
             {
                 dis[v]=dis[u]+len2[e];
                 pre[v][]=u;
                 pre[v][]=e;
                 if(!inq[v])
                 {
                     w++; q[w%(s+)]=v; inq[v]=;
                 }
             }
             e=nxt[e];
         }
     }
     if(dis[T]==-INF) return ;
     return ;
 }

 void mcf()
 {
     int k=T;
     int t=INF;
     while(k!=S)
     {
         int e=pre[k][];
         t=min(t,len1[e]);
         k=pre[k][];
     }
     ans1+=t;
     k=T;
     while(k!=S)
     {
         int e=pre[k][];
         len1[e]-=t;
         len1[e^]+=t;
         ans2+=t*len2[e];
         k=pre[k][];
     }
 }

 void solve1()
 {
     tot=;
     rep(i,,s) head[i]=;
     rep(i,,m) add(S,num[][i][],,);
     rep(i,,n-)
      rep(j,,m+i-)
      {
          add(num[i][j][],num[i+][j][],,);
          add(num[i][j][],num[i+][j+][],,);
      }
     rep(i,,n)
      rep(j,,m+i-) add(num[i][j][],num[i][j][],,a[i][j]);
     rep(i,,n+m-) add(num[n][i][],T,,);
     ans1=ans2=;
     while(spfa()) mcf();
     printf("%d\n",ans2);
 }

 void solve2()
 {
     tot=;
     rep(i,,s) head[i]=;
     rep(i,,m) add(S,num[][i][],,);
     rep(i,,n-)
      rep(j,,m+i-)
      {
          add(num[i][j][],num[i+][j][],,a[i][j]);
          add(num[i][j][],num[i+][j+][],,a[i][j]);
      }
     rep(i,,n+m-) add(num[n][i][],T,INF,a[n][i]);
     ans1=ans2=;
     while(spfa()) mcf();
     printf("%d\n",ans2);
 }

 void solve3()
 {
     tot=;
     rep(i,,s) head[i]=;
     rep(i,,m) add(S,num[][i][],,);
     rep(i,,n-)
      rep(j,,m+i-)
      {
          add(num[i][j][],num[i+][j][],INF,a[i][j]);
          add(num[i][j][],num[i+][j+][],INF,a[i][j]);
      }
     rep(i,,n+m-) add(num[n][i][],T,INF,a[n][i]);
     ans1=ans2=;
     while(spfa()) mcf();
     printf("%d\n",ans2);
 }

 int main()
 {
     //freopen("1.in","r",stdin);
     m=read(),n=read();
     s=;
     rep(i,,n)
      rep(j,,m+i-)
      {
          a[i][j]=read();
          num[i][j][]=++s;
          num[i][j][]=++s;
      }
     S=++s,T=++s;
     solve1();
     solve2();
     solve3();
     return ;
 }