2019牛客暑期多校训练营（第一场） - B - Integration - 数学

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/B
https://www.cnblogs.com/zaq19970105/p/11210030.html

试图改写多项式：

\[\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}a_i^2+x^2}\]

这个多项式用待定系数法设为：

\[\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}a_i^2+x^2}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{a_i^2+x^2}\]

其中 \(c_i\) 是常数（不太理解），先求解 \(c_1\) ，则把 \(a_1^2+x^2\) 乘到等式两边。

\[(a_1^2+x^2)\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}a_i^2+x^2}=c_1+(a_1^2+x^2)\sum_{i=2}^{n}\frac{c_i}{a_i^2+x^2}\]

这个是恒等式，那么假设给他赋特殊值，把右侧消去 \((x^2=-a_1^2)\) （或者直接裂项）。

\[\frac{1}{\prod_{i=2}^{n}a_i^2-a_1^2}=c_1\]

类似地可以得到：

\[\frac{1}{\prod_{j!=i}a_i^2-a_1^2}=c_i\]

这个可以 \(O(n)\) 求出来。

所以原式为（配个微分，或者用只有1项的规律）

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{a_i^2+x^2}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{2a_i}\pi\]