Codeforces 1017F The Neutral Zone 数论

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题目传送门 - CF1017F

题意

　　假设一个数 $x$ 分解质因数后得到结果 $x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} $

　　定义 $\text{exlog}_f(x) = a_1 f(p_1) + a_2 f(p_2) + ... + a_k f(p_k)$

　　给定 $A,B,C,D$ 表示 $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

　　求 $\sum_{i=1}^n \text{exlog}_f(i)$ 。

　　$n\leq 3\times 10^8,\ \ A,B,C,D\leq 10^6,\ \ $ 答案对于 $2^{32}$ 取模。

题解

　　考虑一个素数 $p$ 对答案的贡献。定义 $cnt(条件)$ 为 $1$~$n$ 中满足条件的数的个数。

　　显然，一个素数对答案的贡献是： $\sum_{i=1}^{\infty} cnt((x\mod {p^i}=0)\ and\ (x\mod {p^{i+1}}\neq 0))\times i \times f(p_i)$ 。

　　由于质数的个数大约在 $\cfrac{n}{\log(n)}$ 数量级，所以我们可以一个 $log$ 求上面的东西。

　　接下来的问题就是如何快速得到所有质数。

　　考虑一个大于 $3$ 的质数对于 $6$ 取模只可能是 $1$ 或 $5$ 。

　　这样，我们就把可能的范围缩小了 $3$ 倍。

　　空间限制很小，我们需要 32 位压位，然后之前又压了 $3$ 倍，空间刚好卡进 16MB。

　　然后就一边暴力筛出素数，一边求当前素数对于答案的贡献。

　　我的写法细节比较多，不推荐。可以考虑损失一点常数来做，会好写一些。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned uint;
LL read(){
	LL x=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar();
	return x;
}
uint n,A,B,C,D,ans=0;
uint fff[3333533];
// 6 -   1  5
uint F(uint v){
	return A*v*v*v+B*v*v+C*v+D;
}
void update(uint p){
	uint m=n,d=m/p,dd,i=0;
	while (p<=d){
		i++;
		dd=d/p;
		ans+=i*(d-dd)*F(p);
		d=dd;
	}
	ans+=(i+1)*d*F(p);
}
int main(){
	memset(fff,0,sizeof fff);
	n=read(),A=read(),B=read(),C=read(),D=read();
	for (uint i=2,f=0,k=0;i<=n;){
		uint id=k<<1;
		if (f==5)
			id--;
		if (i>5&&((fff[id>>5]>>(id&31))&1))
			;
		else {
//			printf("%d\n",i);
			update(i);
			if (i>=5){
				uint ii=i,ff=f,kk=k,iid,v1=4,v2=2;
				if (f==5)
					swap(v1,v2);
				while (1){
					if (ff==1)
						ii+=v1*i,ff=5;
					else
						ii+=v2*i,ff=1;
					if (ii>n)
						break;
//					printf("%u %u %u\n",ii,ff,kk);
					kk=(ii+1)/6;
					iid=kk<<1;
					if (ii%6==5)
						iid--;
					fff[iid>>5]|=1<<(iid&31);
				}
			}
		}
		if (i<5){
			if (i==2)
				i=3;
			else
				i=5,f=5,k=1;
		}
		else if (f==1)
			i+=4,f=5,k++;
		else
			i+=2,f=1;
	}
	printf("%u",ans);
	return 0;
}
/*
100 0 0 0 1
*/