P1072 Hankson 的趣味题[数论]

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c_1c1 和 c_2c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a_0,a_1,b_0,b_1a0,a1,b0,b1，设某未知正整数xx 满足：

1． xx 和 a_0a0 的最大公约数是 a_1a1；

2． xx 和 b_0b0 的最小公倍数是b_1b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数xx。但稍加思索之后，他发现这样的xx 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 xx 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

解析

这道题很容易想出一个比较暴力但是可以AC的解法。

根据题目，我们有\(gcd(a_0,x)=a_1,lcm(x,b_0)=b_1\)，那么显然\(a_1\mid x,x\mid b_1\)，于是我们找出\(b_1\)的所有质因子，然后验证一下\(a_1\mid x\)是否成立即可。注意在找质因子的时候不要打暴力，肯定会T，应先筛个素数，再用素数凑出\(b_1\)，再判断，卡卡常随便过。

如果是在考场上，这种做法无疑是最优的，好想又好写。但是实际上这道题有更好的巧解做法。

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由\(lcm(x,b_0)=b_1\)得\(x\mid b_1\)，故一定存在一个\(k\)，使得\(k\mid x ~\&~ k\mid b_1\)，即\(x\)的质因子一定是\(b_1\)的质因子。

由此我们可以想到，我们不妨枚举所有\(1\sim \sqrt{(2*10^9)}\)的所有素数\(k\)，并不断将质因子\(k\)从\(a_0,a_1,b_0,b_1\)中除去，同时我们可以通过每个数含有\(k\)的数量确定一些可行的答案。如果最终\(b_1\not= 1\)，根据素数理论，说明\(b_1\)本身就是质数。

那么如何通过四个数所含有的\(k\)的数量来判断解的情况呢？

设\(a_0,a_1,b_0,b_1\)分别含有\(ma,mb,mc,md\)个质因子\(k\)，\(x\)含有\(mx\)个质因子\(k\)，那么我们可以进行如下讨论（可以类比朴素解法的检验过程）：

对于\(gcd(x,a_0)=a_1\)这一约束条件：

1. 当\(ma>mb\)时，有一个解\(mx=mb\)；
2. 当\(ma=mb\)时，有解\(mx>=mb\)；
3. 当\(ma<mb\)时，无解。

对于\(lcm(x,b_0)=b_1\)这一约束条件：

1. 当\(mc<md\)时，有一个解\(mx=md\)；
2. 当\(mc=md\)时，有解\(mx<=md\)；
3. 当\(mc>md\)时，无解。

故我们可以发现，只要\(ma<mb~||~mc>md\)，我们就可以排除当前质因子\(k\)存在解的可能性。而当\(mc=md,ma=mb,mc<=md\)时，有\(md-mb+1\)个解。

要明确一点，我们每次求解的方案数是在质因子\(k\)意义下的解，即\(x\)包含质因子\(k\)的方案数（有点难理解，好好思考）。最终的某个解\(x’\)一定是其中一些符合要求的质因子相乘得到的，因此根据乘法原理，对于每种符合要求的质因子\(k\)能取的方案数，我们累乘到答案中，即可的到所有可行质因子\(k\)最终构成所有\(x\)的数量。（仔细理解质因子\(k\)与答案\(x\)的关系）

设对于质因子\(k\)，\(x\)可能包含它的方案数为\(cnt_k\)，则最终答案可以表示为：

\[\prod_{k~\mid b_1}~cnt_k
\]

该算法十分高效，却极其难想出来，可谓一种毒瘤解法。。。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 500010
#define MAX 2000000000
#define MOD 2520
#define E 1e-12
#define ll long long
using namespace std;
ll p[N],v[N],q,m;
ll a0,a1,b0,b1,ans=1;
inline void get(ll n)
{
	memset(v,0,sizeof(v));
	m=0;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(v[i]==0){v[i]=i;p[++m]=i;}
		for(int j=1;j<=m;++j){
			if(p[j]>n/i||p[j]>v[i]) break;
			v[i*p[j]]=p[j];
		}
	}
}
inline void work(int p)
{
	ll ma=0,mb=0,mc=0,md=0;
	while(!(a0%p)) a0/=p,ma++;
	while(!(a1%p)) a1/=p,mc++;
	while(!(b0%p)) b0/=p,mb++;
	while(!(b1%p)) b1/=p,md++;
	if(ma<mc||mb>md){ans=0;return;}
	if(ma==mc&&mb==md){if(mc<=md)ans*=(md-mc+1);else ans=0;return;}
	if(((ma>mc)&&(mb==md))||((ma==mc)&&(mb<md))){if(mc<=md)ans*=1;else ans=0;return;}
	if((ma>mc)&&(mb<md)){if(mc==md)ans*=1;else ans=0;return;}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&q);
	get(sqrt(MAX));
	while(q--){
		ans=1;
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&a0,&a1,&b0,&b1);
		for(int i=1;i<=m;++i)
			work(p[i]);
		if(a0>1) work(a0);
		else if(b1>1&&b1!=a0)
			work(b1);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

总结

对于以上两种算法，一点个人理解：暴力算法采用某种自顶向下的判断性求解模式，即判断当前枚举到的\(x\)是否符合条件。更优的算法采用一种类似构造解的模式，根据解的特征自底向上地构造解，应该说是一种较难掌握的思维方式。写完这道题，我想朴素与优雅的算法的区别应该就在这里吧。