2018南京区域赛G题 Pyramid——找规律&&递推

先手动推出前10项，再上BM板子求出递推式 $A_n = 5A_{n-1} - 10A_{n-2} + 10A_{n-3} - 5A_{n-4} + A_{n-5}$，根据特征根理论可求出特征方程 $(x-1)^5$，设 $A_n = k_1n^4 + k_2n^3 + k_3n^2+k_4n+k_5$，代入前5项求出系数（用了高斯消元法解方程组）。

这样虽然做出来了，但是感觉比较浪费时间，因为BM板子和高斯消元法的板子都不短，对手残狗不友好。

说明一下，差分法只能针对递推式的通项是对n的多项式，所以不能完全替代BM板子，但可以先试一下嘛。

差分

首先前７项分别为1  5 15 35 70 126 210

                    dn=(n*n*n*n + *n*n*n - n*n - *n)/24   //第一项为0
                       cn=n*n*n/ + n*n/ + n/
                         bn=n*n/ + 3n/ +
                              an=n+
                              

如果采用差分法，能直接发现通项为最高次为4的多项式，待定系数就可以了。（快了好多啊）

当然，待定系数懒得解方程组。其实我们可以较容易的从上求出通项。

例如，

易知 $a_n = n+2$，

$b_2 - b_1 = 3$

$b_3 - b_2 = 4$

$\vdots$

$b_n - b_{n-1} = n+1$

所以 $\displaystyle b_n-b_1 = \sum_{i=1}^{n-1}a_i = \sum_{i=1}^{n-1}i+2 = \frac{n^2}{2} + \frac{3n}{2} + 1$

同理 $c_{n}-c_1 = \sum_{i=1}^{n-1}b_i$，$d_{n}-d_1 = \sum_{i=1}^{n-1}c_i$

中间只涉及平方和、立方和公式，比较简单。

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_41746268/article/details/90601779