luogu1082 同余方程

题目大意：求$$ax\equiv 1(\ \mathrm{mod}\ m)$$的最小正整数解。

　　因为$ax-1|m$，故令$ax-1=-ym$，原方程就变成了$ax+my=1$。根据bezout定理此方程有解当且仅当$\gcd(a, m)=1$成立，然后解方程$ax+my=\gcd(a,m)$即可。

　　先不考虑原题，若要解方程$$ax+by=\gcd(a,b)$$，要用到扩展欧几里得算法。当$b=0$时，显然$x=1,y=0$。因为$$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\ \mathrm{mod}\ b), a\ \mathrm{mod}\ b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$$，所以如果知道了$$bx'+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y'=\gcd(b, a\ \mathrm{mod}\ b)=\gcd(a, b)$$，将等式左面倒一倒就变成了$$ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y')=\gcd(a,b)$$。所以令当前的$x=y', y=x'-(a/b)*y'$便是一个解。于是在欧几里得算法的基础上加上这一句即可。

回到原题，人家要求最小正整数解，因为该同余方程$ax\equiv 1(mod m)$的通解为所有模m与x0同余的整数（$ax+amk=a(x+mk)\equiv 1(\ \mathrm{mod}\ m)$依然成立），我们要将解转移使$x\in [1,m)$。故将以上解出的$x$进行(x%m+m)%m。x%=m时，$x\in (-m,m)$。再加m模m是为了处理x是负数的情况。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

long long Exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	long long d = Exgcd(b, a%b, x, y);
	long long tx = x;
	x = y;
	y = tx - (a / b)*y;
	return d;
}

long long Inv(long long a, long long m)
{
	long long x, y;
	Exgcd(a, m, x, y);
	return (x%m + m) % m;
}

int main()
{
	long long a, m;
	scanf("%lld%lld", &a, &m);
	printf("%lld\n", Inv(a, m));
	return 0;
}