rmq算法，利用倍增思想

RMQ问题ST算法 

/*  RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：

     RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。

 

  预处理

:  预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。

  例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值

  注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的

  所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。

 

  查询

:  假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足

2^k <= (n - m + 1).  于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间

: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];  而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值

我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的；

#include<iostream> 

#include<cmath>

 using namespacestd; 

 #define MAXN 1000000

   #define mmin(a, b)   ((a)<=(b)?(a):(b)) 

 #define mmax(a, b)   ((a)>=(b)?(a):(b)) 

  int num[MAXN]; 

  int f1[MAXN][100];

   int f2[MAXN][100]; 

  //测试输出所有的f(i, j)

 void dump(int n) 

{      int i, j;  

     for(i = 0; i < n; i++) 

    {       

           for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++) 

        { 

            printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f1[i][j]); 

        } 

        printf("\n"); 

    }  

        for(i = 0; i < n; i++) 

       printf("%d ", num[i]); 

    printf("\n"); 

         for(i = 0; i < n; i++) 

    {      

            for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++) 

        { 

            printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f2[i][j]); 

        } 

        printf("\n"); 

    }     

     for(i = 0; i < n; i++) 

        printf("%d ", num[i]); 

    printf("\n"); 

} 

  //sparse table算法

 void st(int n) { 

          int i, j, k, m;   

    k = (int) (log((double)n) / log(2.0));    

  for(i = 0; i < n; i++)  

{        

        f1[i][0] = num[i]; //递推的初值

        f2[i][0] = num[i]; 

    }  

        for(j = 1; j <= k; j++)     { //自底向上递推

          for(i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++) 

        {              m = i + (1 << (j - 1)); //求出中间的那个值

 

            f1[i][j] = mmax(f1[i][j-1], f1[m][j-1]); 

            f2[i][j] = mmin(f2[i][j-1], f2[m][j-1]); 

        } 

    } 

}  

//查询i和j之间的最值,注意i是从0开始的

 void rmq(int i, int j)  

{     

      int k = (int)(log(double(j-i+1)) / log(2.0)), t1, t2; //用对2去对数的方法求出k 

    t1 = mmax(f1[i][k], f1[j - (1<<k) + 1][k]); 

    t2 = mmin(f2[i][k], f2[j - (1<<k) + 1][k]); 

    printf("%d\n",t1 - t2); 

} 

  int main() 

{    

      int i,N,Q,A,B; 

    scanf("%d %d", &N, &Q);  

    for(i = 0; i < N; ++i) 

    { 

        scanf("%d", num+i); 

    } 

      st(N); //初始化

      //dump(N); //测试输出所有

f(i, j)    

 while(Q--) 

    { 

        scanf("%d %d",&A,&B); 

        rmq(A-1, B-1); 

    }   

      return 0; 

      }

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