二分优化

在求一个最长不上升自序列中,显然其结尾元素越小,越有利于接其他元素,对答案的贡献也就可能会更高

那么我们可以用low[i]去存长度为i的LIS结尾元素的最小值

因此我们只要维护low数组

对于每一个a[ i ],如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度],就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面,即low [++当前最长的LIS长度] = a [ i ]。

那么,怎么维护 low 数组呢?
对于每一个a [ i ],如果a [ i ]能接到 LIS 后面,就接上去;否则,就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是,在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ],用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话,时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的,所有我们可以二分 low 数组,找出第一个大于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(lgn),所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

例题

P2782 友好城市

先将所有城市排序,然后发现就是一个最长不下降子序列

但暴力只能拿50pts

 1 /*
2 Work by: Suzt_ilymics
3 Knowledge: ??
4 Time: O(??)
5 */
6 #include<iostream>
7 #include<cstdio>
8 #include<algorithm>
9 using namespace std;
10 const int MAXN = 2e5+5;
11 struct good{
12 int n,s;
13 bool operator < (const good &b) const {return n == b.n ? s < b.s : n < b.n; }
14 }a[MAXN];
15 int n, ans;
16 int f[MAXN];
17 int main()
18 {
19 scanf("%d", &n);
20 for(int i = 1; i <= n; ++i){
21 scanf("%d%d", &a[i].n, &a[i].s);
22 }
23
24 sort(a+1, a+n+1);
25
26 for(int i = 1; i <= n; ++i){
27 f[i] = 1;
28 for(int j = 1; j < i; ++j){
29 if(a[j].n < a[i].n && a[j].s < a[i].s){
30 f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
31 }
32 }
33 ans = max(ans, f[i]);
34 }
35
36 printf("%d", ans);
37
38 return 0;
39 }

考虑一下上面的优化,因为北岸的城市是排好的,所以low数组里只需存南岸

 1 /*
2 Work by: Suzt_ilymics
3 Knowledge: LIS + 二分优化
4 Time: O(nlogn)
5 */
6 #include<iostream>
7 #include<cstdio>
8 #include<algorithm>
9 #define INF 2100000000
10 using namespace std;
11 const int MAXN = 2e5+5;
12 struct good{
13 int n,s;
14 bool operator < (const good &b) const {return n == b.n ? s < b.s : n < b.n; }
15 }a[MAXN];
16 int n, ans;
17 int f[MAXN], low[MAXN];
18
19 int ef(int r, int k){
20 int mid, l = 0;
21 while(l <= r){
22 mid = (l + r) >> 1;
23 if(low[mid] <= k){
24 l = mid + 1;
25 }
26 else{
27 r = mid - 1;
28 }
29 }
30 return l;
31 }
32
33 int main()
34 {
35 scanf("%d", &n);
36 for(int i = 1; i <= n; ++i){
37 scanf("%d%d", &a[i].n, &a[i].s);
38 low[i] = INF;
39 }
40
41 sort(a+1, a+n+1);
42
43 low[1] = a[1].s;
44 ans = 1;
45
46 for(int i = 2; i <= n; ++i){
47 if(a[i].s > low[ans]){
48 low[++ans] = a[i].s;
49 }
50 else{
51 low[ ef(ans, a[i].s) ] = a[i].s;
52 }
53 }
54
55 printf("%d", ans);
56
57 return 0;
58 }

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