最短路-SPFA算法&Floyd算法
SPFA算法
算法复杂度
SPFA 算法是 Bellman-Ford算法 的队列优化算法的别称,通常用于求含负权边的单源最短路径,以及判负权环。
SPFA一般情况复杂度是O(m)最坏情况下复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同,为O(nm)。
n为点数,m为边数
spfa也能解决权值为正的图的最短距离问题,且一般情况下比Dijkstra算法还好
算法步骤
queue <– 1
while queue 不为空
(1) t <– 队头
queue.pop()
(2)用 t 更新所有出边 t –> b,权值为w
queue <– b (若该点被更新过,则拿该点更新其他点)
代码实现
题目:https://www.acwing.com/problem/content/description/853/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
typedef long long ll;
ll n,m;
typedef pair<int, int> PII;
int h[maxn],e[maxn],w[maxn],ne[maxn],idx;
int dist[maxn];
bool st[maxn]; void add(int x,int y,int c)
{
//权值记录
w[idx]=c;
//终点边记录
e[idx]=y;
//存储编号为idx的边的前一条边的编号
ne[idx]=h[x];
//代表以x为起点的边的编号,这个值会发生变化
h[x]=idx++;
} ll spfa()
{
ll i,j;
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
dist[1]=0; queue<int> q;
//将起点加入
q.push(1);
//标记已在集合
st[1]=true;
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
//弹出后,不在集合
st[t]=false;
for(i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
//获得终点
j=e[i];
//判断距离
if(dist[j]>dist[t]+w[i])
{
//更新距离
dist[j]=dist[t]+w[i];
//判断终点是否在集合
if(!st[j])
{
//加到集合,继续更新他到其他点的最短距离
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
//如果说原点到终点n的距离还是无穷,则代表到达不了
if(dist[n]==0x3f3f3f3f)
return -1;
else
return dist[n];
} int main()
{
ll i,j;
cin>>n>>m;
//初始化h数组为-1,目的是为ne数组赋值
memset(h,-1,sizeof(h));
while(m--)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
//加边
add(x,y,z);
}
ll ans=spfa();
if(ans==-1)
cout<<"impossible";
else
cout<<ans;
return 0;
}
SPFA判断负环
求负环方法
统计当前每个点的最短路中所包含的边数,如果某点的最短路所包含的边数大于等于n,则也说明存在环。
算法步骤
①初始化要将所有点都插入到队列中
②增加一个cnt数组,来记录走的边个数
③若dist[j] > dist[t] + w[i],则表示从t点走到j点能够让权值变少,因此进行对该点j进行更新,并且对应cnt[j] = cnt[t] + 1,往前走一步
注意:该题是判断是否存在负环,并非判断是否存在从1开始的负环,因此需要将所有的点都加入队列中,更新周围的点
代码实现
题目:https://www.acwing.com/problem/content/description/854/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
typedef long long ll;
ll n,m;
typedef pair<int, int> PII;
int h[maxn],e[maxn],w[maxn],ne[maxn],idx;
int dist[maxn],cnt[maxn];
bool st[maxn]; void add(int x,int y,int c)
{
//权值记录
w[idx]=c;
//终点边记录
e[idx]=y;
//存储编号为idx的边的前一条边的编号
ne[idx]=h[x];
//代表以x为起点的边的编号,这个值会发生变化
h[x]=idx++;
} bool spfa()
{
ll i,j;
queue<int> q;
//将所有点加入队列
for(i=1;i<=n;i++)
{
q.push(i);
st[i]=true;
}
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
j=e[i];
//dist数组不用初始化,是因为如果为负的就进行更新,才能找出负环
if(dist[j]>dist[t]+w[i])
{
dist[j]=dist[t]+w[i];
//边数更新
cnt[j]=cnt[t]+1;
//大于n-1条边,代表有负环
if(cnt[j]>=n)
return true;
if(!st[j])
{
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
return false;
} int main()
{
ll i,j;
cin>>n>>m;
//初始化h数组为-1,目的是为ne数组赋值
memset(h,-1,sizeof(h));
while(m--)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
//加边
add(x,y,z);
}
//堆优化版的Dijkstra if(spfa())
cout<<"Yes";
else
cout<<"No";
return 0;
}
Floyd算法
原理
多源汇最短路问题
算法步骤
①初始化d
②k, i, j 去更新d
代码实现
题目:https://www.acwing.com/problem/content/description/856/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
const int maxn=220,INF=0x3f3f3f3f;
int d[maxn][maxn]; void floyd()
{ for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
} } int main()
{
int i,j;
cin>>n>>m>>k;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)
d[i][j]=0;
else
d[i][j]=INF;
}
} while(m--)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
d[x][y]=min(d[x][y],z);
}
floyd(); while(k--)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
if(d[x][y]>INF/2)
cout<<"impossible"<<endl;
else
cout<<d[x][y]<<endl;
} return 0;
}
最短路总结
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