LeetCode 95 | 构造出所有二叉搜索树

今天是LeetCode专题第61篇文章，我们一起来看的是LeetCode95题，Unique Binary Search Trees II（不同的二叉搜索树II）。

这道题的官方难度是Medium，点赞2298，反对160，通过率40.5%。我也仿照steam当中游戏评论的分级，给LeetCode中的题目也给出一个评级标准。按照这个点赞和反对的比例，这道题可以评到特别好评。从题目内容上来说，这是一道不可多得基础拷问的算法题，看着不简单，做起来也不简单，但看了题解之后，你会发现也没你想象得那么难。

题意

给定一个n，表示1到n这n个数字，要求用这n个数构建二叉搜索树（Binary Search Tree）简称BST，要求我们构建出所有不同的二叉搜索树。

样例

Input: 3
Output:
[
  [1,null,3,2],
  [3,2,null,1],
  [3,1,null,null,2],
  [2,1,3],
  [1,null,2,null,3]
]
Explanation:
The above output corresponds to the 5 unique BST's shown below:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

从这个case当中我们可以看到，当n=3的时候，二叉搜索树一共有5中不同的情况。为了方便展示，Output当中展示的内容是这些树中序遍历的结果。但实际上我们要返回的是树根节点构成的list。

哦哦，对了题目当中还有一个n <= 8的条件，所以如果你是一个狼人的话，也可以把所有的情况都手动实现。

解法

这道题我感觉官方难得给的有点低了，应该可以算得上是Hard了。拿到手我们思路没多少，但是发现的问题却一大堆。比如说我们怎么构建这些BST，并且怎么判断两颗BST是否重复呢？难道要整个遍历一遍之后，一个节点一个节点地判断是否相同吗？显然这也太耗时了，而且编码也不容易。举个例子[2, 1, 3]和[2, 3, 1]生成的BST是一样的，这种情况很难解决。

即使我们解决了这个问题，那么又怎么样保证我们可以顺利找到所有的答案，而不会有所遗漏呢？这两个核心的问题很难回答，并且你会发现越想越复杂。

这个有点像什么呢？就好像是古代行军打仗，攻打一个异常坚固的堡垒，正面攻坚可能非常困难，我们想出来的办法都在敌人的预料之中，总能找到破解之道。这个时候就需要我们有敏锐的意识，就好像是一个经验丰富的老将，观察地形之后发现强攻不可为，那么自然就会退下来想一想其他的办法。

我们做题也是一样，正面硬刚做不出来，再耗下去也不会有好办法，往往就需要出奇制胜了。

我们试着把问题缩小，化整为零，如果n=1，那么很简单，BST就只有一种，这个是我们都知道的东西。如果n=2呢，也不难，只有两种，无非是[1, 2]和[2, 1]。这时候我们停住，来思考一个问题，n=2的情况和n=1的情况有什么区别呢？

如果仔细想，会发现其实没什么区别， 我们只不过是在n=1的情况当中加入了2这个数字而已。同理，我们发散一下n=k和n=k+1的时候生成的BST之间有什么关系呢？如果我们知道了n=k时候的所有BST，可不可以利用这个关系生成n=k+1时的所有结果呢？

当然是可以的，实际上这也是一个很好的做法。这是一种最基本的二叉树，假设我们要往其中插入一个最大的节点，我们很容易发现，一共有三种方法。

image-20200809155208137

第一种方法将原搜索树作为新节点的左孩子节点。

第二种方法是将新的节点插入根节点的右侧，代替根节点的右孩子。由于这个新加入的节点大于其他所有节点，所以根节点的右孩子会变成它的左孩子。

最后一种方法就是将它变成叶子节点，也就是放在最底层。

我们稍加思考就可以想明白，如果要把一个最大的元素插入BST，那么它只能够放在最右侧的树分支上。也就是说当我们从n=k的情况推导k+1时，根据最右侧链路长度的不同，会衍生出多个解来。只要抓住了这一点，这其中的递推关系就很明显了。

我们用代码来实现这个想法，思路虽然简单，但是实现起来要复杂一些，有很多细节需要考虑。我在这里不一一列举了，大家查看代码当中的注释吧。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def generateTrees(self, n: int) -> List[TreeNode]:
        ret = []
        
        # 拷贝二叉树
        def copyTree(node):
            if node is None:
                return None
            u = TreeNode(node.val)
            u.left = copyTree(node.left)
            u.right = copyTree(node.right)
            return u
        
        def dfs(n):
            # n=1只有一种情况
            if n == 1:
                ret.append(TreeNode(1))     
                return
            
            dfs(n-1)
            # 遍历n=k时的所有情况
            for i in range(len(ret)):
                u = ret[i]
                node = TreeNode(n)
                node.left = u
                ret[i] = node
                
                it = u
                rank = 0
                # 将n插入最右侧链路当中，有几种可以选择的位置，就会诞生几种新的放法
                while it is not None:
                    node = TreeNode(n)
                    # 为了防止答案之间互不影响，所以需要把树拷贝一份
                    new = copyTree(u)
                    cur = new
                    
                    # rank记录的是每一个解对应的n放入的深度
                    for _ in range(rank):
                        cur = cur.right
                    
                    node.left = cur.right
                    cur.right = node
                    
                    ret.append(new)
                    
                    it = it.right
                    rank += 1
            
        if n == 0:
            return ret
        dfs(n)
        return ret

这种方法当然是可行的， 我们也成功做了出来。但是它也有很多问题，最大的问题就是细节太多，而且处理起来太麻烦了。那么有没有简单一点的方法呢？

我们来思考一个问题，我们通过递推和迭代从n=k构造出了n=k+1的情况，这一种构造和递推的思路非常巧妙。但问题是，我们构造和递推的方法难道只有这一种吗？能不能想出其他简便一些的构造和递推的方法呢？

既然我这么说，那么很显然，它是可以的，怎么做呢？

这要用到BST另外一个性质，我们都知道对于BST来说，它有一个性质是对于根节点来说，所有比它小的元素都出现在它的左侧，比它大的元素都在它的右侧。那么假如我们知道根节点是i，那么我们可以确定1到i-1出现在它的左子树，i+1到n出现在它的右子树。假设说我们已经得到了左右子树的所有情况，我们只需要把它们两两组合在一起，是不是就得到了答案了呢？

我这么说你们理解起来可能还是会觉得有些费劲，但是一旦查看代码，你们一定会为这段逻辑的简易性而折服，看起来实在是太简明也太巧妙了。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def generateTrees(self, n: int) -> List[TreeNode]:
        ret = []
        
        def dfs(l, r):
            cur = []
            if r < l:
                cur.append(None)
                return cur
            
            # 枚举作为树根的元素
            for i in range(l, r+1):
                # 枚举左右子树的所有子树的构成情况
                for u in dfs(l, i-1):
                    for v in dfs(i+1, r):
                        node = TreeNode(i)
                        node.left = u
                        node.right = v
                        cur.append(node)
            return cur 
            
        if n == 0:
            return ret
        return dfs(1, n)

和上面的方法一样，这也是递归和构造方法的结合，但显然无论从运行效率上还是代码的简易性上，这种做法都要好不少，实实在在地体现了代码和逻辑之美。

今天的文章到这里就结束了，如果喜欢本文的话，请来一波素质三连，给我一点支持吧（关注、转发、点赞）。

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