AC自动机算法 && 例题

参考链接：

https://blog.csdn.net/bestsort/article/details/82947639#commentBox

https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/7002823

AC自动机简介：
首先简要介绍一下AC自动机：Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出n个单词（这n个单词，我们称它为模式串），再给出一段包含m个字符的文章（我们称它为主串），让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有字典树Trie和KMP模式匹配算法的基础知识。KMP算法是单模式串的字符匹配算法，AC自动机是多模式串的字符匹配算法。

ac自动机时间复杂度：
假设有N个模式串，平均长度为L；文章长度为M。 建立Trie树：O(N*L) 建立fail指针：O(N*L) 模式匹配：O(M*L) 所以，总时间复杂度为:O( (N+M)*L )。

AC自动机构造：

1、首先用n个单词构造一颗字典树

2、为树上的每一个节点设一个失败指针（代码中用fail[]数组来表示），这个失败指针和KMP算法有点类似。用KMP算法来找的时候如果匹配失败会通过next数组跳到下一个位置进行匹配。失败指针也是这个用途，它就是此次匹配失败后跳到下一个位置进行下一次匹配

3、扫描主串进行匹配

具体AC自动机构造：

一、Trie
首先我们需要建立一棵Trie。但是这棵Trie不是普通的Trie，而是带有一些特殊的性质。
首先会有3个重要的指针，分别为p, p->fail, temp。
1.指针p，指向当前匹配的字符。若p指向root，表示当前匹配的字符序列为空。（root是Trie入口，没有实际含义）。
2.指针p->fail，p的失败指针，指向与字符p相同的结点，若没有，则指向root。
3.指针temp，测试指针（自己命名的，容易理解！~），在建立fail指针时有寻找与p字符匹配的结点的作用，在扫描时作用最大，也最不好理解。

对于Trie树中的一个节点，对应一个序列s[1...m]。此时，p指向字符s[m]。若在下一个字符处失配，即p->next[s[m+1]] == NULL，则由失配指针跳到另一个节点(p->fail)处，该节点对应的序列为s[i...m]。若继续失配，则序列依次跳转直到序列为空或出现匹配。在此过程中，p的值一直在变化，但是p对应节点的字符没有发生变化。在此过程中，我们观察可知，最终求得得序列s则为最长公共后缀。另外，由于这个序列是从root开始到某一节点，则说明这个序列有可能是某些序列的前缀。

再次讨论p指针转移的意义。如果p指针在某一字符s[m+1]处失配(即p->next[s[m+1]] == NULL)，则说明没有单词s[1...m+1]存在。此时，如果p的失配指针指向root，则说明当前序列的任意后缀不会是某个单词的前缀。如果p的失配指针不指向root，则说明序列s[i...m]是某一单词的前缀，于是跳转到p的失配指针，以s[i...m]为前缀继续匹配s[m+1]。

对于已经得到的序列s[1...m]，由于s[i...m]可能是某单词的后缀，s[1...j]可能是某单词的前缀，所以s[1...m]中可能会出现单词。此时，p指向已匹配的字符，不能动。于是，令temp = p，然后依次测试s[1...m], s[i...m]是否是单词。

fail指针构造：

首先给定模式串"ash","shex","bcd","sha",然后我们根据模式串建立如下trie树:

然后我们再了解下一步:
ac自动机,就是在tire树的基础上,增加一个fail指针,如果当前点匹配失败,则将指针转移到fail指针指向的地方,这样就不用回溯,而可以路匹配下去了.(当前模式串后缀和fail指针指向的模式串部分前缀相同,如abce和bcd,我们找到c发现下一个要找的不是e,就跳到bcd中的c处,看看此处的下一个字符(d)是不是应该找的那一个)
一般,fail指针的构建都是用bfs实现的
首先每个模式串的首字母（也就是根节点的直系子节点）肯定是指向根节点的

现在第一层bfs遍历完了,开始第二层

(根节点为第0层)第二层a的子节点为s,但是我们还是要从a-z遍历,如果不存在这个子节点我们就让他指向根节点(如下图红色的a)

当我们遍历到s的时候,由于它的父亲节点（即、a）的fail指针指向的节点（即、根）的直系子节点存在s这个节点,我们就让他的fail指针指向他父亲节点(a)的fail指针指向的那个节点(根)的具有相同字母的子节点(第一层的s),也就是这样（没错fail指针就是这样构造的

按照相同规律构建第二层后,到了第三层的h点,还是按照上面的规则,我们找到h的父亲节点(s)fail指针指向的那个位置(第一层的s)然后指向它所指向的相同字母根->s->h的这个链的h节点,如下图

完全构造好后的树

然后匹配就很简单了,这里以ashe为例
我们先用ash匹配,到h了发现:诶这里ash是一个完整的模式串,好的ans++,然后找下一个e,可是ash后面没字母了啊,我们就跳到hfail指针指向的那个h继续找,还是没有e?再跳,结果当前的h指向的是根节点,又从根节点找,然而还是没有找到e,程序END

扫描主串：

构造好Trie和失败指针后，我们就可以对主串进行扫描了。这个过程和KMP算法很类似，但是也有一定的区别，主要是因为AC自动机处理的是多串模式，需要防止遗漏某个单词，所以引入temp指针。

匹配过程分两种情况：(1)当前字符匹配，表示从当前节点沿着树边有一条路径可以到达目标字符，此时只需沿该路径走向下一个节点继续匹配即可，目标字符串指针移向下个字符继续匹配；(2)当前字符不匹配，则去当前节点失败指针所指向的字符继续匹配，匹配过程随着指针指向root结束。重复这2个过程中的任意一个，直到模式串走到结尾为止。

扫描代码：

 1 int len=strlen(s);
 2         int now=root;
 3         int res=0;
 4         for(int i=0;i<len;++i)
 5         {
 6             now=next[now][s[i]-'a']; //这个now就保证了我们找的肯定是这个s字符串中的一部分
 7             int temp=now; //这就是一直找，找到了就加1，找不到就通过失败指针看其他地方能不能找到
 8             while(temp!=root)  //尝试这个节点的失败指针能不能找到模式串
 9             {
10                 res+=ends[temp];  //因为我们要找出来s串中包含几种模式串，所以要有赋值0操作
11                 ends[temp]=0;
12                 temp=fail[temp];
13             }
14         }
15         return res;

例题：

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