KM 算法

KM 算法

可能需要先去学学匈牙利算法等二分图相关知识。

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模板题-洛谷P6577 【模板】二分图最大权完美匹配

给 \(n\) 和 \(m\) 与边 \(u_i,v_i,w_i(1\le i\le m)\)。有一个二分图，两边各 \(n\) 个点，共 \(m\) 条边，保证有完美匹配，求完美匹配最大边权之和。

数据范围：\(1\le n\le 500\)，\(1\le m\le \frac{n\times (n-1)}{2}\)，\(-19980731\le w_i \le 19980731\)，无重边。

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卡网络流以及一切复杂度 \(> \Theta(n^3)\) 的算法，卡不掉怪良心出题人。

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• 奇奇怪怪的定义

顶标：两边点都有的标记（左 \(a_i\) 右 \(b_j\)）满足 \(a_i+b_j\ge w_{i,j}\)，不唯一。

相等边：\(a_i+b_j=w_{i,j}\) 的边 \((i,j)\)。

相等子图：相等边构成的子图。

交错树：增广路径形成的树。

\(\tt KM\) 算法的结论：\(\color{#f00}{\texttt{当每个相等子图完备匹配时，二分图得到最大匹配。}}\)

因为显然，因为这个时候不可能有比它更优的匹配。

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• 奇奇怪怪的算法

很明显，并不是所有 的顶标分配方案都能使“每个相等子图完备匹配”的。

但是，找到一个可行的 顶标分配方案是很简单的，所以可以找到一种顶标分配然后找增广路的同时调整。

然后在发现相等子图的完备匹配后就匹配。

具体流程：

\((1)\) 分配可行顶标，并对每个节点执行 \((2),(3),(4)\)。

\((2)\) 匈牙利算法找增广。

\((3)\) 找不到增广路（相等子图匹配）就调整顶标。

\((4)\) 重复 \((2),(3)\) 直到找到增广路。

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• 代码

分析一下代码可知实际时间复杂度 \(\Theta(n^4)\)。

//Data
const ll N=500;
ll n,m,e[N+7][N+7];

//KM
ll mat[N+7],d[N+7],va[N+7],vb[N+7],ak[N+7],bk[N+7];
ll Dfs(ll u){
	va[u]=1;
	for(ll v=1;v<=n;v++)if(!vb[v]){
		if(ak[u]+bk[v]-e[u][v]==0){
			vb[v]=1;
			if(!mat[v]||Dfs(mat[v])) return mat[v]=u,1;
		} else d[v]=min(d[v],ak[u]+bk[v]-e[u][v]);
	}
	return 0;
}
ll KM(){
	fill(ak+1,ak+n+1,-INF);
	for(ll u=1;u<=n;u++)
		for(ll v=1;v<=n;v++) ak[u]=max(ak[u],e[u][v]);
	for(ll u=1;u<=n;u++){
		while(true){
			fill(va+1,va+n+1,0);
			fill(vb+1,vb+n+1,0);
			fill(d+1,d+n+1,INF);
			if(Dfs(u)) break;
			ll c=INF;
			for(ll v=1;v<=n;v++)if(!vb[v]) c=min(c,d[v]);
			for(ll v=1;v<=n;v++)if(va[v]) ak[v]-=c;
			for(ll v=1;v<=n;v++)if(vb[v]) bk[v]+=c;
		}
	}
	ll res=0;
	for(ll v=1;v<=n;v++) res+=e[mat[v]][v];
	return res;
}

//Main
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll u=1;u<=n;u++)
		for(ll v=1;v<=n;v++) e[u][v]=-INF;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll u,v,w;
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		e[u][v]=max(e[u][v],w);
	}
	printf("%lld\n",KM());
	for(ll u=1;u<=n;u++) printf("%lld ",mat[u]);puts("");
	return 0;
}

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这时候可以得 \(50\) 分，剩余的 \(\tt TLE\)。

废话：不得不佩服出题人！大部分人的 \(\tt KM\) 算法都是上面这么写的，要知道还有 \(\Theta(n^3)\) 的 \(\tt KM\)，得找遍全网吧！我找了一个下午终于找到了，希望写了这篇文章后，大家就不需要像我这么累了！

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• 奇奇怪怪的优化

就是把 \(\tt Dfs\) 换成 \(\tt Bfs\)。本质和上面代码是一样的。

每个左边的点只会进队、搜索一次。\(\tt p\) 数组记录的是增广交错树。

这个 \(\tt Bfs\) 是迭代写的，所以不需要 \(\tt queue\)。

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• 代码

随机数据下是 \(\Theta(n^3)\)，听说可以卡成 \(\Theta(n^4)\)。但是这样卡貌似没意义。

//Data
const int N=500;
int n,m,e[N+7][N+7];

//KM
int mb[N+7],vb[N+7],ka[N+7],kb[N+7],p[N+7],c[N+7];
int qf,qb,q[N+7];
void Bfs(int u){
    int a,v=0,vl=0,d;
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=0,c[i]=inf;
    mb[v]=u;
    do {
        a=mb[v],d=inf,vb[v]=1;
        for(int b=1;b<=n;b++)if(!vb[b]){
            if(c[b]>ka[a]+kb[b]-e[a][b])
                c[b]=ka[a]+kb[b]-e[a][b],p[b]=v;
            if(c[b]<d) d=c[b],vl=b;
        }
        for(int b=0;b<=n;b++)
            if(vb[b]) ka[mb[b]]-=d,kb[b]+=d;
            else c[b]-=d;
        v=vl;
    } while(mb[v]);
    while(v) mb[v]=mb[p[v]],v=p[v];
}
ll KM(){
    for(int i=1;i<=n;i++) mb[i]=ka[i]=kb[i]=0;
    for(int a=1;a<=n;a++){
    	for(int b=1;b<=n;b++) vb[b]=0;
		Bfs(a);
	}
	ll res=0;
	for(int b=1;b<=n;b++) res+=e[mb[b]][b];
	return res;
}

//Main
int main(){
	n=ri,m=ri;
	for(int a=1;a<=n;a++)
		for(int b=1;b<=n;b++) e[a][b]=-inf;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=ri,v=ri,w=ri;
		e[u][v]=max(e[u][v],w);
	}
	printf("%lld\n",KM());
	for(int u=1;u<=n;u++) printf("%d ",mb[u]);puts("");
	return 0;
}

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是不是看起来特别玄学？\(\tt KM\) 这种偏僻又难懂的算法，或许还是背板子好。

对了，然后就能 \(\tt AC\) 了。

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祝大家学习愉快！