[bzoj3694]最短路

Description

给出一个$n$个点$m$条边的无向图,$n$个点的编号从$1-n$,定义源点为$1$.

定义最短路树如下:从源点$1$经过边集$T$到任意一点$i$有且仅有一条路径,且这条路径是整个图$1$到$i$的最短路径,边集$T$构成最短路树.

给出最短路树,求对于除了源点$1$外的每个点$i$,求最短路,要求不经过给出的最短路树上的$1$到$i$的路径的最后一条边.

Input

第一行包含两个数$n$和$m$,表示图中有$n$个点和$m$条边.

接下来$m$行,每行有四个数$a_i,b_i,l_i,t_i$,表示图中第$i$条边连接$a_i$和$b_i$权值为$l_i,t_i$为$1$表示这条边是最短路树上的边,$t_i$为$0$表示不是最短路树上的边.

Output

输出$n-1$个数,第$i$个数表示从$1$到$i+1$的要求的最短路.无法到达输出$-1$.

Sample Input

5 9
3 1 3 1
1 4 2 1
2 1 6 0
2 3 4 0
5 2 3 0
3 2 2 1
5 3 1 1
3 5 2 0
4 5 4 0

Sample Output

6 7 8 5

HINT

$n\;\leq\;4000,m\;\leq\;100000，1\;\leq\;l_i\;\leq\;100000$

Solution

对于一条不在最短路树上的边$e[u][v]$,显然它只对$(u,v)$上除了$lca(u,v)$之外的点有影响.

对于$(lca(u,v),v)$上除了$lca(u,v)$之外的点$k$,一条可行路径为$1->u->v->k$.

($lca(u,v)$不合法,不属于$(u,v)$的点显然更劣.)

设$dis[i]$为最短路树中$(1,i)$的长度,

则这条可行路径$1->u->v->k$长度为$dis[u]+e[u][v]+dis[v]-dis[k]$.

$dis[k]$为定值,则要求合法的最小的$dis[u]+e[u][v]+dis[v]$.

这个可以用树链剖分+线段树维护.

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 4005
#define M 100005
#define INF 900000000
using namespace std;
struct linetree{
    int l,r,m;
}lt[M];
struct graph{
    int nxt,to,w;
}e[M<<1];
struct line{
    int l,r,w;
}a[M];
int g[N],dis[N],n,m,tot,cnt;
int f[N],p[N],dep[N],siz[N],son[N],top[N];
inline void addedge(int x,int y,int w){
    e[++cnt].nxt=g[x];g[x]=cnt;e[cnt].to=y;e[cnt].w=w;
}
inline void dfs1(int u){
    int m=0;siz[u]=1;
    for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt)
        if(!dep[e[i].to]){
            f[e[i].to]=u;
            dep[e[i].to]=dep[u]+1;
            dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w;
            dfs1(e[i].to);
            siz[u]+=siz[e[i].to];
            if(siz[e[i].to]>m){
                son[u]=e[i].to;
                m=siz[e[i].to];
            }
        }
}
inline void dfs2(int u,int tp){
    top[u]=tp;p[u]=++cnt;
    if(son[u]) dfs2(son[u],tp);
    for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt)
        if(e[i].to!=f[u]&&e[i].to!=son[u])
            dfs2(e[i].to,e[i].to);
}

inline void build(int u,int l,int r){
    lt[u].l=l;lt[u].r=r;lt[u].m=INF;
    if(lt[u].l<lt[u].r){
        int mid=(lt[u].l+lt[u].r)>>1;
        build(u<<1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);
    }
}
inline void cover(int u,int l,int r,int k){
    if(lt[u].l>=l&&lt[u].r<=r){
        lt[u].m=min(lt[u].m,k);
    }
    else if(lt[u].l<lt[u].r){
        int lef=u<<1,rig=u<<1|1;
        int mid=(lt[u].l+lt[u].r)>>1;
        lt[lef].m=min(lt[u].m,lt[lef].m);
        lt[rig].m=min(lt[u].m,lt[rig].m);
        if(l<=mid) cover(lef,l,r,k);
        if(r>mid) cover(rig,l,r,k);
    }
}
inline int ask(int u,int x){
    if(lt[u].l<lt[u].r){
        int lef=u<<1,rig=u<<1|1;
        int mid=(lt[u].l+lt[u].r)>>1;
        lt[lef].m=min(lt[u].m,lt[lef].m);
        lt[rig].m=min(lt[u].m,lt[rig].m);
        if(x<=mid) return ask(lef,x);
        return ask(rig,x);
    }
    return lt[u].m;
}
inline void cov(int u,int v,int k){
    int t;
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]){
            t=u;u=v;v=t;
        }
        cover(1,p[top[u]],p[u],k);
        u=f[top[u]];
    }
    if(p[u]>p[v]){
        t=u;u=v;v=t;
    }
    if(u!=v) cover(1,p[u]+1,p[v],k);
}
inline void Aireen(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,j,k,w,t;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d%d",&j,&k,&w,&t);
        if(t){
            addedge(j,k,w);addedge(k,j,w);
        }
        else{
            a[++tot].l=j;a[tot].r=k;a[tot].w=w;
        }
    }
    dep[1]=1;dfs1(1);cnt=0;dfs2(1,1);
    build(1,1,n);m=tot;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        cov(a[i].l,a[i].r,a[i].w+dis[a[i].l]+dis[a[i].r]);
    for(int i=2,k;i<=n;++i){
        k=ask(1,p[i]);
        if(k==INF) printf("-1 ");
        else printf("%d ",k-dis[i]);
    }
}
int main(){
    freopen("dis.in","r",stdin);
    freopen("dis.out","w",stdout);
    Aireen();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}