最长递增子序列问题—LIS

问题：给定一组数 a₀,a₀,....,a_n-1. 求该序列的最长递增(递减)序列的长度。

最长递增子序列长度的求法有O(n^2)和O(nlogn)两种算法.

1.复杂度为O(n^2)的算法。

设L[i]表示以a[i]结尾的最长递增子序列的长度。则ans=max{L[1],...,L[n]};当i=1时，显然长度为1，即L[1]=1;L[i]的递归方程如下：

L[i]=max{L[j]}+1  (j<i且a[j]<a[i]).

于是可以采用自底向上来计算L[2]...L[n].

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100001;
int L[N],a[N];
int ans,n;
void LIS(){
	L[0] = 1, ans = 1;
	int i,j;
	for (i = 1; i < n; i++){
		L[i] = 1;
		for (j = 0; j < i; j++){
			if (a[j] < a[i] && L[i] < L[j] + 1)
				L[i] = L[j] + 1;
		}
		ans = max(ans, L[i]);
	}
}
int main(){
	scanf("%d", &n);
	int i;
	for (i = 0; i < n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	ans = 0;
	LIS();
	//输出以a[i]结尾的最大递增序列长度
	for (i = 0; i < n; i++)
		printf("%d\n", L[i]);
	//输出整个序列的最大递增序列长度
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

　2.时间复杂度为O(nlogn)的算法。

考虑上述动态规划计算L[k]的情况。假设有a_s,a满足如下条件：

1）s<t<k

2) a_s<a_t<a_k

3)L[s]=L[t]

此时将a_k加在a_s或者a_t的尾部得到的长度相同。但是加在谁后面会更好？显然a_k加在a_s后面会更好。可以这样考虑，如果存在a_x满足a_s<a_x<a_t.这时候将将a_k加在a_s后面显然得到的递增序列会更长。

定义数组d[i]：L[k]=i+1的所有a_k的最小值。即为：d[i]={a_k|L[k]=i+1};通俗的讲就是表示最大递增子序列长度为i+1，该序列的最后一个数的最小值。

d[i]有如下性质：

1）d[i]的值在整个计算过程中是单调非递增的

2) 序列d[0]..d[n-1]是严格递增的。d[0]<d[1]<...<d[n-1].

由于性质2）,所以可以使用二分查找的办法，将总的复杂度优化为O(nlogn).算法步骤如下：

(1)初始化ans=1，d[0]=a[0],i=0

(2)若i>=n，则算法结束，否则转（3）

(3)  if   a[i]>d[ans-1]

then  d[ans]=a[i];ans=ans+1;

else

ind=Bsearch(d,ans,a[i]),d[ind]=a[i];

(4)i=i+1,转（2）

在具体实现时，函数Bserach是二分查找函数，功能是找到a[i]插入的位置。函数返回第一个大于或等于a[i]的值的下标，也即是a[i]要插入的地方。具体做时，可以使用C++库函数lower_bound(),该函数包含在头文件#include<algorithm>中，函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素位置。如果所有元素都小于val，则返回last的位置。需要注意的是，他作用的序列必须是有序的。例如一个数组number序列为：4,10,11,30,69,70,96,100.设要插入数字3,9,111.pos为要插入的位置的下标

pos = lower_bound( number, number + 8, 3) - number，pos = 0.即number数组的下标为0的位置。

pos = lower_bound( number, number + 8, 9) - number， pos = 1，即number数组的下标为1的位置（即10所在的位置）。

pos = lower_bound( number, number + 8, 111) - number， pos = 8，即number数组的下标为8的位置（但下标上限为7，所以返回最后一个元素的下一个元素）。

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 1000001;
int d[N], a[N];
int f[N];//f[i]用来记录以a[i]结尾的最长递增序列长度
int ans,n;   //ans记录整个数组的最大递增序列的长度
void LIS(){
	d[0] = a[0], ans = 1,f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <n; i++){
		int pos =lower_bound(d, d + ans, a[i])-d;   //计算a[i]插入的下标
		d[pos] = a[i];
		if (pos == ans)
			ans++;
		f[i] = pos + 1;  //a[i]插入的下标就是pos处，所以a[i]前面必有pos个数的递增子序列
	}
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T--){
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 0; i < n; i++)
			scanf("%d", &a[i]);
		ans = 0;
		LIS();
		for (int i = 0; i < n; i++)
			cout << f[i] << (i == n - 1 ? "\n":" ");
	}
	return 0;
}