HDU3507 Print Article(斜率优化dp)

前几天做多校，知道了这世界上存在dp的优化这样的说法，了解了四边形优化dp，所以今天顺带做一道典型的斜率优化，在百度打斜率优化dp，首先弹出来的就是下面这个网址：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

上面讲的很详细，但是实际上有些地方貌似是不小心写错了，所以我也来复述一下感悟一下收获。

首先题意是比较明确的，如果我们定义dp[i]为打印到第i个字符时的最小花费的话，显然有下面的转移:

dp[i]=dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m

然后我们考虑k<j<i时的情况，如果说我们求dp[i]的时候选择j比选择k更优，就会有:

dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m>dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+m

然后化简就会有:

(dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)/2*(sum[j]-sum[k]) < sum[i]

然后左边的项看上去是非常像斜率的，所以我们可以定义一个g[j,k]＝(dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)/2*(sum[j]-sum[k])

g[j,k]<sum[i]就表示了j点比k点更优。

考虑a<b<c的情况  g[c,b]<g[b,a]的时候说明什么了呢？？

如果g[c,b]<sum[c]  那么 c比b更优

如果g[c,b]>=sum[c]，则g[b,a]>g[c,b]>＝sum[c] 说明 a比b更优

所以如果(c,b)的斜率<(b,a)的斜率那么 b点是不用考虑的。

基于这一点我们可以用一个队列，像求凸包一样去维护可行的点集。由于g[c,b]<g[b,a]的情况不存在，所以只有g[c,b]>=g[b,a],因此点集应该是上凸的

所以对于队列一开始的点集，如果队首元素的斜率g(que[qh+1],que[qh])<sum[i]的话，那么我们可以将队首元素弹出

（其实一般情况下应该是不可以的，但由于sum[i]是递增的，所以在求dp[i]时有g(que[qh+1],que[qh])<sum[i]，dp[i+1]也有g(que[qh+1],que[qh])<sum[i＋1]，因此队首的元素一定是不用考虑的）

然后直到我们找到一个可行解。

然后就将现在的元素插入队尾，插入队尾的时候就要维护下凸的性质，大概就是这样子。

原博客讲的十分的清楚，然后评论里也讲了一些存在的纰漏和补充的地方，原博的下凸应该改为上凸吧，还有就是弹队首的时候还是要多加说明可能会更好。

#pragma warning(disable:4996)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

#define ll long long
#define maxn 510000

ll dp[maxn];
ll sum[maxn];
ll a[maxn];
int n, m;

int que[maxn];
int qh, qt;

ll getup(int i, int j){
	return (dp[i] + sum[i] * sum[i]) - (dp[j] + sum[j] * sum[j]);
}

ll getdown(int i, int j){
	return 2 * (sum[i] - sum[j]);
}

int main()
{
	while (cin >> n >> m){
		a[0] = sum[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i){
			scanf("%I64d", a + i);
			sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
		}
		dp[0] = 0;
		qh = qt = 0;
		que[qt++] = 0;

		for (int i = 1; i <= n; ++i){
			while (qh + 1 < qt && getup(que[qh + 1], que[qh]) <= getdown(que[qh + 1], que[qh]) * sum[i]){
				qh++;
			}
			dp[i] = dp[que[qh]] + (sum[i] - sum[que[qh]])*(sum[i] - sum[que[qh]]) + m;
			while (qh + 1 < qt && getup(i, que[qt - 1])*getdown(que[qt - 1], que[qt - 2]) <= getup(que[qt - 1], que[qt - 2])*getdown(i, que[qt - 1])){
				qt--;
			}
			que[qt++] = i;
		}
		printf("%I64d\n", dp[n]);
	}
	return 0;
}