[HDU6155]Subsequence Count(线段树+矩阵)

DP式很容易得到，发现是线性递推形式，于是可以矩阵加速。又由于是区间形式，所以用线段树维护。

https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9124511.html

关键在于证明区间操作中，可以直接在打标记的位置翻转矩阵两行两列。

上面网址用代数形式证了一遍，这里考虑从矩阵本身解释。

由线代内容可知，将一个矩阵作初等行变换，相当于将其左乘一个作了相应初等列变换的单位矩阵。同理将一个矩阵作初等列变换，相当于将其又乘一个作了相应初等行变换的单位矩阵。

这里，左乘的矩阵$T=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，右乘的矩阵$T'$同样也是这个。

我们发现，$T\times T'$就是单位矩阵，也就是说$T$的逆矩阵就是自己。

于是有，$T\times A\times T'\times T\times B\times T'=T\times A\times B\times T'$。

这就说明中间的所有矩乘操作都可以被省略，只留下首尾的$T$和$T'$。

这也就证明了，对区间矩阵积直接做变换是正确的。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define ls (x<<1)
 #define rs (ls|1)
 #define lson ls,L,mid
 #define rson rs,mid+1,R
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int N=,mod=1e9+;
 bool tag[N<<];
 int n,Q,T,op,l,r;

 struct Mat{ int a[][]; }v[N<<];
 const Mat D[]={(Mat){,,,,,,,,},(Mat){,,,,,,,,}};
 int calc(Mat a){ return (a.a[][]+a.a[][])%mod; }

 Mat operator *(const Mat &a,const Mat &b){
     Mat c; memset(c.a,,sizeof(c.a));
     rep(i,,) rep(j,,) rep(k,,)
         c.a[i][k]=(c.a[i][k]+1ll*a.a[i][j]*b.a[j][k])%mod;
     return c;
 }

 void put(int x){
     tag[x]^=;
     swap(v[x].a[][],v[x].a[][]);
     swap(v[x].a[][],v[x].a[][]);
     swap(v[x].a[][],v[x].a[][]);
     swap(v[x].a[][],v[x].a[][]);
     swap(v[x].a[][],v[x].a[][]);
     swap(v[x].a[][],v[x].a[][]);
 }

 void push(int x){ if (tag[x]) put(ls),put(rs),tag[x]=; }

 void build(int x,int L,int R){
     tag[x]=;
     if (L==R){ char t; scanf(" %c",&t); v[x]=D[t-'']; return; }
     int mid=(L+R)>>; build(lson); build(rson); v[x]=v[ls]*v[rs];
 }

 void mdf(int x,int L,int R,int l,int r){
     if (L==l && r==R){ put(x); return; }
     int mid=(L+R)>>; push(x);
     if (r<=mid) mdf(lson,l,r);
     else if (l>mid) mdf(rson,l,r);
         else mdf(lson,l,mid),mdf(rson,mid+,r);
     v[x]=v[ls]*v[rs];
 }

 Mat que(int x,int L,int R,int l,int r){
     if (L==l && r==R) return v[x];
     int mid=(L+R)>>; push(x);
     if (r<=mid) return que(lson,l,r);
     else if (l>mid) return que(rson,l,r);
         else return que(lson,l,mid)*que(rson,mid+,r);
 }

 int main(){
     freopen("hdu6155.in","r",stdin);
     freopen("hdu6155.out","w",stdout);
     for (scanf("%d",&T); T--; ){
         scanf("%d%d",&n,&Q); build(,,n);
         while (Q--){
             scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
             if (op==) mdf(,,n,l,r); else printf("%d\n",calc(que(,,n,l,r)));
         }
     }
     return ;
 }