愤怒的小鸟【$DP$优化】

卡常的状压\(DP\)，愤怒的小鸟。

其实本来是个很水的状压\(DP\)，但因为最后三个点\(n=18\)，成功地把我的不可能达到的下界为\(\Omega(2^nn^2)\)，紧确的上界为\(O(2^nn^3)\)算法给卡死了\(\rm{OTZ}\)……

那么这个地方，我定义的状态是\(dp_s\)表示猪的状态为\(s\)时的最小鸟个数。那么这个东西转移吧，我想的是枚举每个\(1\)位，把它当做这次更新（杀死）的猪，然后通过其他的猪转移。对于一组猪确定的一个抛物线，再枚举全部的猪，看看能不能从更小的状态更新。

大概枚举两只猪的复杂度都是\(\Theta(n^2)\)左右的，然后\(\Theta(n)\)扫一遍，大概复杂度上界为\(O(n^3)\)，但是事实上根本不会到这个地步。对于\(n=15\)的情况还是可以刚一波的。

但是之后就凉凉了，因为它实际只能\(get\)到\(85pts\)。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define MAXN 30
#define MAXM 400000
#define Inf 1926081700

using namespace std ; struct Func{ double A, B ;} temp ; int i, j, k ;
int T, t1, t0, dp[MAXM + 1], S0[MAXN], S1[MAXN], N, M ; double X[MAXN], Y[MAXN] ; 

inline Func chk(int A, int B){
	double _x1 = X[A], _sx1 = X[A] * X[A] ;
	double _y1 = Y[A], _sy1 = Y[A] * Y[A] ;
	double _x2 = X[B], _sx2 = X[B] * X[B] ;
	double _y2 = Y[B], _sy2 = Y[B] * Y[B] ;
	return (Func){(_y1 * _x2 - _y2 * _x1)/(_sx1 * _x2 - _sx2 * _x1),  (_y2 * _sx1 - _sx2 * _y1)/(_sx1 * _x2 - _sx2 * _x1)} ;
}
inline bool Calc(Func A, int B){
	return A.A * X[B] * X[B] + A.B * X[B] == Y[B] ;
}
inline void clear(){ fill (dp, dp + MAXM + 1, Inf) ;}
inline void Init(){t1 = 0, t0 = 0, fill (S1, S1 + N + 1, 0), fill (S0, S0 + N + 1, 0) ;}
int main(){
	cin >> T ;
	while (T --){
		clear() ; dp[0] = 0 ;
		cin >> N ; M = (1 << N) - 1 ;
		for (i = 1 ; i <= N; ++ i)
			scanf("%lf%lf", &X[i], &Y[i]) ;
		for (i = 1 ; i <= M ; ++ i){
			Init() ;
			for (j = 0 ; j < N ; ++ j)
				if (1 << j & N) S1[++ t1] = j + 1 ;
				else S0[++ t0] = j + 1 ;
			for (j = 1 ; j <= t1 ; ++ j)
				for (k = 1 ; k < j ; ++ k){
					if ((temp = chk(S1[j], S1[k])).A >= 0) continue ;
					int S = i ;
					S ^= (1 << S1[j] - 1), S ^= (1 << S1[k] - 1) ;
					for (int l = 1 ; l <= t1 ; ++ l){
						if (l == j || l == k) continue ;
						if (Calc(temp, S1[l])) S ^= (1 << S1[l] - 1) ;
					}
					dp[i] = min(dp[i], dp[S] + 1) ;
				}
		}
		printf("%d\n", dp[M]) ;
	}
}

我们思考一个剪枝。

我们的最优解实质上是唯一的，此处的唯一指的是\(DP\)的最优子结构性质。那么我们不妨把转移过程单调起来，而不是让它重复枚举。所以我们要按秩转移，随便从一个开始都行，只要有序、不重复即可。那么不妨从最低位开始。这个东西一开始预处理一遍即可。

于是最终的复杂度就变成了\(\Theta(2^nn)\)，十分带劲。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define MAXN 30
#define t1(i) S1[i][0]
#define min my_min
#define MAXM 400000
#define REG register
#define Inf 1926081700

using namespace std ; double X[MAXN], Y[MAXN] ;
const double eps = 1e-7 ; struct Func{ double A, B ;} F[MAXN][MAXN] ;
int m, i, j, k, l, dp[MAXM + 20], Low[MAXM + 20], B[MAXN][MAXN], N, M ;

inline bool Calc(Func A, int B){
	double T = A.A * X[B] * X[B] + A.B * X[B] ; return (T <= Y[B] + eps & T >= Y[B] - eps) ;
}
inline Func chk(int A, int B){
    double _x1 = X[A], _sx1 = X[A] * X[A], _y1 = Y[A], _sy1 = Y[A] * Y[A] ;
    double _x2 = X[B], _sx2 = X[B] * X[B], _y2 = Y[B], _sy2 = Y[B] * Y[B], TT = _sx1 * _x2 - _sx2 * _x1 ;
    return (Func){(_y1 * _x2 - _y2 * _x1) / TT,  (_y2 * _sx1 - _sx2 * _y1) / TT} ;
}
inline int my_min(int A, int B){ return A & ((A - B) >> 31) | B & (~(A - B) >> 31) ;}
int main(){
//	freopen("angrybird.in", "r", stdin) ;
//	freopen("angrybird.out", "w", stdout) ;
	int T ; cin >> T ; M = (1 << 18) - 1 ;
	/*
	for (int i = 1 ; i <= M ; ++ i)
		for (int j = 0 ; j < 18 ; ++ j)
			if (1 << j & i) S1[i][++ S1[i][0]] = j + 1 ;
	*/
	for(i = 0; i <= M ; ++ i){
		j = 1 ;
    	for ( ; j <= 18 && i & (1 << (j - 1)) ; ++ j) ;
    	Low[i] = j ;
    }
    /*for(i=0;i<(1<<18);i++){ //预处理lowunbit
        int j=1;
        for(;j<=18 && i&(1<<(j-1));j++);
        Low[i]=j;
    }*/
    while (T --){
    	memset(B, 0, sizeof(B)) ;
    	memset(dp, 127, sizeof(dp)) ;
        dp[0] = 0 ; cin >> N >> m ; M = (1 << N) - 1 ;
		for (i = 1 ; i <= M ; ++ i) dp[i] = dp[i - (i & -i)] + 1 ;
        for (i = 1 ; i <= N ; ++ i) scanf("%lf%lf", &X[i], &Y[i]) ;
        for (i = 1 ; i <= N ; ++ i)
        	for (j = 1 ; j < i ; ++ j){
        		if (fabs(X[i] - X[j]) <= eps) continue ;
        	 	F[i][j] = F[j][i] = chk(i, j) ;
				if (F[i][j].A >= -eps) continue ;
        	 	for (int k = 1 ; k <= N ; ++ k)
        	 		if (Calc(F[i][j], k)) B[i][j] = B[j][i] |= (1 << k - 1) ;
			}
        for (i = 0 ; i <= M ; ++ i){
        	j = Low[i] ;
        	dp[i | 1 << (j - 1)] = min(dp[i | 1 << (j - 1)], dp[i] + 1) ;
            for (k = 1 ; k <= N; ++ k) dp[i | B[j][k]] = min(dp[i | B[j][k]], dp[i] + 1) ;
    	}

		printf("%d\n", dp[M]) ;
    }
}