【JZOJ5233】【GDOI模拟8.5】概率博弈 树形dp+期望

题面

小A和小B在玩游戏。这个游戏是这样的：

有一棵n个点的以1为根的有根树，叶子有权值。假设有m个叶子，那么树上每个叶子的权值序列就是一个1->m 的排列。

一开始在1号点有一颗棋子。两人轮流将这颗棋子移向其当前位置的一个儿子。假如棋子到达叶子，游戏结束，最终获得的权值为所在叶子对应权值。

小A希望最后的权值尽量大，小B希望尽量小。小A是先手。

在玩了很多局游戏后，小B对其中绝大多数局游戏的结果不满意，他觉得是小A对叶子权值做了手脚。于是他一怒之下，决定将叶子的权值随机排列。现在小B想知道，假如叶子的权值是随机排列的（即叶子权值的每种排列都以等概率出现），那么游戏期望的结果是多少？

请输出答案乘上m! 对10^9+7取模的结果，显然这是一个整数。

对于100%的数据，n<=5000,保证给出的是一棵合法的树。

100

首先预处理一个dp，\(f[i][j][0/1]\)表示以第i个结点为子树，填了j个0到叶子结点中，并且结点i的值为0/1，的方案数。

这个可以用树形背包弄出来，注意奇偶性。

然后就能统计答案了。

\[Ans=\sum_{i=1}^n f[1][i][1]*i!*(sum-i)!
\]

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define fd(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
using namespace std;
const char* fin="game.in";
const char* fout="game.out";
const int inf=0x7fffffff;
int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}
const int maxn=5007,maxm=maxn*2,mo=1000000007;
int n,fi[maxn],la[maxm],ne[maxm],tot,ans,fact[maxn];
int w[maxn],f[maxn][maxn][2],g[maxn][maxn][2];
void add_line(int a,int b){
	tot++;
	ne[tot]=fi[a];
	la[tot]=b;
	fi[a]=tot;
}
int getw(int v,int from){
	w[v]=0;
	for(int k=fi[v];k;k=ne[k])
		if (la[k]!=from)
			w[v]+=getw(la[k],v);
	return (w[v]?w[v]:w[v]=1);
}
void dfs(int v,int from,int x){
	bool az=true;
	for(int k=fi[v];k;k=ne[k])
		if (la[k]!=from){
			dfs(la[k],v,x^1);
			if (az) memcpy(f[v],f[la[k]],sizeof f[v]),az=false;
			else{
				fo(i,0,w[v]) g[v][i][0]=0,g[v][i][1]=0;
				fo(j,0,w[la[k]])
					fd(i,w[v],0){
						if (i+j>w[v]) continue;
						if (x==0){
							g[v][i+j][0]=(g[v][i+j][0]+1ll*f[v][i][0]*f[la[k]][j][1])%mo;
							g[v][i+j][0]=(g[v][i+j][0]+1ll*f[v][i][1]*f[la[k]][j][0])%mo;
							g[v][i+j][0]=(g[v][i+j][0]+1ll*f[v][i][0]*f[la[k]][j][0])%mo;
							g[v][i+j][1]=(g[v][i+j][1]+1ll*f[v][i][1]*f[la[k]][j][1])%mo;
						}else{
							g[v][i+j][1]=(g[v][i+j][1]+1ll*f[v][i][0]*f[la[k]][j][1])%mo;
							g[v][i+j][1]=(g[v][i+j][1]+1ll*f[v][i][1]*f[la[k]][j][0])%mo;
							g[v][i+j][1]=(g[v][i+j][1]+1ll*f[v][i][1]*f[la[k]][j][1])%mo;
							g[v][i+j][0]=(g[v][i+j][0]+1ll*f[v][i][0]*f[la[k]][j][0])%mo;
						}
					}
				fo(i,0,w[v]) f[v][i][0]=g[v][i][0],f[v][i][1]=g[v][i][1];
			}
		}
	if (az){
		f[v][0][1]=1;
		f[v][1][0]=1;
	}
}
int main(){
	freopen(fin,"r",stdin);
	freopen(fout,"w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	if (n==1){
		printf("1");
		return 0;
	}
	fo(i,1,n-1){
		int j,k;
		scanf("%d%d",&j,&k);
		add_line(j,k);
		add_line(k,j);
	}
	fact[0]=1;
	fo(i,1,n) fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%mo;
	getw(1,0);
	dfs(1,0,1);
	fo(i,0,w[1]) ans=(ans+1ll*f[1][i][1]*fact[i]%mo*fact[w[1]-i]%mo)%mo;
	ans=(ans+mo)%mo;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}