最长递增子序列 (LIS) Longest Increasing Subsequence

问题描述：

有一个长为n的数列a0, a1,..., an-1.请求出这个序列中最长的上升子序列。请求出这个序列中最长的上升子序列。

上升子序列：对于任意i<j都满足ai<aj的子序列.

限制条件

i <= n <= 1000

0 <= ai <= 1000000

两种定义方式 具体看程序注释

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 using namespace std;

 int n;
 int a[];
 //定义 dp[i] 以a[i]作为最末数字的的最长子序列
 //状态转移方程 dp[i] = 1//自己
 //                   = max(dp[i], dp[j]+1) //i > j && a[i] > a[j] 将a[i] 添加在a[j]后面
 int main()
 {
     freopen("in.txt", "r", stdin);
     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         scanf("%d", &a[i]);
     }
     int dp[];
     memset(dp, , sizeof(dp));
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         dp[i] = ;
         for (int j = ; j < i; j++)
         {
             if (a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]+);
         }
     }
     cout << dp[n-] << endl;
     //复杂度 O(n^2)
     //---------------------------------------------------------------------------//
     //定义dp[i] 长度为i+1 的序列 的最小结尾值 因为结尾值最小 在后面更新时 越有优势
     //状态转移方程 dp[i] = min(dp[i], a[j])
     fill(dp, dp+, INF);
     for (int j = ; j < n;j++)//注意是要对每一个数从前往后只检查一次 去看能否替换 dp数列中的某个值
     {
         for (int i = ; i < n; i++)
         {
             if (i ==  || dp[i-] < a[j]) dp[i] = min(dp[i], a[j]);//因为是要求递增 那么比前一个大的话更新这一位 使这一位为最小值
         }
     }//这样实现也是O(n^2)的复杂度
     //但是在查找a[j]的过程 可以使用二分查找 优化这样复杂度变为n*logN
     int ans = ;
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         if (dp[i] < INF) ans = i+;
     }
     cout << ans << endl;
     //--------------------------------------------------------------------//
     fill(dp, dp+, INF);
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         *lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i];//dp[0] 到 dp[n-1] >= a[i] 的最小指针 也就是按照从左到有的顺序
     }
     for (int i = ; i < n; i++)
     {
         if (dp[i] < INF) ans = i+;
     }
     cout << ans << endl;
     return ;
 }