洛谷 - P2657 - windy数 - 数位dp

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2657

不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。

这道题是个显然到不能再显然的数位dp了。

来个最神奇的dp[i][j]表示i位数，开头为j的windy数的个数吧。

那么dp[i][j]的求法是很显然的，写个sum数组求和更为方便。

那么怎么统计windy数呢？

约定由布丁酱写的数位dp，求闭区间[l,r]时，使用count(r)-count(l-1)，也就是count(x)表示不小于的[0,x]中windy数的个数。

怎么求count呢，最简单的思路就是分类讨论。

对最高位分三类：

　　最高位为0，遍历所有的dp[i][1~9]再加上0本身。

　　最高位为非0且比x最高位小，后面满足条件的可以随意取。

　　最高位相等，交给下一位去做。

对非最高位分两类：

　　该位在受前面位的限制下任取，后面满足条件的任取。

　　该位相等，交给下一位去做。（小心该位相等时非法，找了很久！）

最后补上x本身的判断。

最后要小心爆int……

意思是说，在数位dp的时候，每一步分类要不重不漏，每一步要判断合法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[][];

ll sum(int i,int j1,int j2){
    /*if(i==0)
        return 1;*/
    if(j1<)
        j1=;
    if(j2>)
        j2=;
    ll res=;
    for(int j=j1;j<=j2;j++){
        res+=dp[i][j];
    }
    return res;
}

void init(){
    for(int j=;j<=;j++)
        dp[][j]=;
    for(int i=;i<=;i++){
        for(int j=;j<=;j++){
            dp[i][j]=sum(i-,,j-)+sum(i-,j+,);
        }
    }

    /*for(int j=1;j<=2;j++){
        dp[9][j]=sum(8,0,j-2)+sum(8,j+2,9);
    }*/

    /*for(int i=1;i<=9;i++){
        for(int j=0;j<=9;j++){
            printf("dp[%d][%d]=%d\n",i,j,dp[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }*/
}

ll A,B;
int digit[];

ll count(ll x){
    //cout<<"x="<<x<<endl;
    if(x==)
        return ;
    //否则岂不是0位数？
    ll k=,cx=x;
    digit[k++]=;
    //占位用的
    while(cx){
        digit[k++]=cx%;
        cx/=;
    }
    k--;
    digit[k+]=;
    //也是占位

    ll res=;
    for(int i=k;i>=;i--){
        //printf("res=%d\n",res);
        if(i==k){
            //最高位取0
            for(int ii=i-;ii>=;ii--)
                res+=sum(ii,,);
            res+=;//0
            //其实不用特判啊
            for(int j=;j<digit[i];j++){
                //最高位比digit小且不为0
                if(i->=){
                    res+=sum(i-,,j-)+sum(i-,j+,);
                }
                else{
                    res+=;
                }
            }
            //最高位就取相等，问题留给下一次循环
        }
        else{
            //前面的位都相等，非最高位的情况，双重受限
            for(int j=;j<digit[i];j++){
                if(abs(digit[i+]-j)<=)
                    ;//被前一位限制取值
                else if(i->=){
                    res+=sum(i-,,j-)+sum(i-,j+,);
                }
                else{
                    res+=;
                }
            }
        }
    }

    for(int i=;i<=k;i++){
        if(abs(digit[i]-digit[i-])<=){
            //printf("res1=%d\n",res);
            return res;
        }
    }
    //printf("res2=%d\n",res+1);
    return res+;
}

int main(){
    init();
    while(~scanf("%lld%lld",&A,&B)){
        printf("%lld\n",count(B)-count(A-));
    }
}

---

后来学会了另一种写法。搜索写法。这种写法里要用到lead来指定new_state1的状态。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int a[];
ll dp[][/*前一位的取值，只有0~9*/];//不同题目状态不同
ll dfs(int pos,int state1/*前一位的取值，只有0~9，-1表示不受限制*/,bool lead/*这一位的前面是否为零*/,bool limit/*这一位是否取值被限制（也就是上一位没有解除限制）*/)
//不是每个题都要处理前导零
{
    //递归边界，最低位是0，那么pos==-1说明这个数枚举完了
    if(pos==-)
        return ;/*这里返回1，表示枚举的这个数是合法的，那么这里就需要在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。 */
    //第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
    if(!limit && !lead && dp[pos][state1]!=-)
        return dp[pos][state1];
    /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态对应*/
    int up=limit?a[pos]:;//根据limit判断枚举的上界up
    ll ans=;
    //开始计数
    for(int i=; i<=up; i++) { //枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了
        int new_state1=i;
        if(lead==true&&i==){
            //这一位继续是前导0，new_state1应为-1
            new_state1=-;
        }
        if(state1>=&&abs(new_state1-state1)<)
            continue;
        /*
        计数的时候用continue跳过不合法的状态，不再搜索
        */

        //合法的状态向下搜索
        ans+=dfs(pos-,new_state1,lead && i==,limit && i==a[pos]);//最后两个变量传参都是这样写的
    }
    //计算完，记录状态
    if(!limit && !lead)
        dp[pos][state1]=ans;
    /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/
    return ans;
}

ll solve(ll x) {
    //可能需要特殊处理0或者-1
    if(x<=)
        return ;

    int pos=;
    while(x) { //把数位分解
        a[pos++]=x%;//编号为[0,pos)，注意数位边界
        x/=;
    }

    return dfs(pos-/*从最高位开始枚举*/,-/*表示这一位前面并没有对其限制的高位*/,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛
}

int main() {
    memset(dp,-,sizeof(dp));
    //一定要初始化为-1

    ll le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri)) {
        printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-));
    }
}