luogu2744 量取牛奶

题目大意

　　给出一个整数集合$A$，总数$N$，规定一个整数序列$\{a_n\}, \forall i, a_i\in A$满足条件：存在一个正整数序列$\{k_n\}$，使得$\sum_{i=1}^n a_i k_i = S$。求$n$最小值且字典序最小的$a_i$。

题解

错误解法

　　令$f(j)$表示使得$\sum_{i=1}^m a_i k_i = j$的最小的$m$的值，令$i$为第几个$A$中的整数，则刷表递推式方式为UpdateMin$(f(j+A_i k),f(j)+1)$。这时我想，如果把$A$中的元素从小到大排序，只有能将以后的状态更新成最小时才更新答案，那么记录到的决策必然就是字典序最小的了。这样就错了，因为如果组成$j_1+K_1 A_{i_1}=j_2+K_2A_{i_2}=S$，$i_1 < i_2$，我们无法证明组成$j_1$的元素的字典序就比$j_2$的小。反例很难容易得出。

正确解法

　　对每个$n$枚举$a_i$为$N$内的组合，然后用完全背包判断选择的组合是否满足条件即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAX_OBJ = 150, MAX_V = 21000;
int TotObj, TotV;
int Vs[MAX_OBJ];
vector<int> Ans;

bool DP(int *_vs)
{
    static bool f[MAX_V], vis[MAX_V];
    memset(f, false, sizeof(f));
    f[0] = true;
    for (int i = 1; i <= TotObj; i++)
    {
    	if (!_vs[i])
    		continue;
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        for (int j = 0; j <= TotV; j++)
        {
            if (f[j] && !vis[j])
            {
                for (int k = 1; k <= (TotV - j) / _vs[i]; k++)
                {
                	f[j + k * _vs[i]] = true;
                }
            }
        }
    }
    return f[TotV];
}

void JudgeAns(vector<int>& chosen)
{
    static int _vs[MAX_OBJ];
    memset(_vs, 0, sizeof(_vs));
    for (unsigned int i = 0; i < chosen.size(); i++)
        _vs[chosen[i]] = Vs[chosen[i]];
    if (DP(_vs))
        Ans = chosen;
}

void Comb(vector<int>& chosen, int n, int m, int begin, void (*doSth)(vector<int>&))
{
    if (n - begin + 1 < m - chosen.size())
        return;
    if (chosen.size() == m)
    {
        doSth(chosen);
        return;
    }
    for (int i = begin; i <= n; i++)
    {
        if (Ans.size())
            return;
        chosen.push_back(i);
        Comb(chosen, n, m, i + 1, doSth);
        chosen.pop_back();
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &TotV, &TotObj);
    for (int i = 1; i <= TotObj; i++)
        scanf("%d", Vs + i);
    sort(Vs + 1, Vs + TotObj);
    vector<int> chosen;
    for (int i = 1; i <= TotObj; i++)
    {
        Comb(chosen, TotObj, i, 1, JudgeAns);
        if (Ans.size())
            break;
    }
    printf("%d ", (int)Ans.size());
    for (unsigned int i = 0; i < Ans.size(); i++)
        printf("%d ", Vs[Ans[i]]);
    printf("\n");
    return 0;
}