[NOI2010]能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有$n$列，每列有$m$棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标$(x, y)$来表示，其中$x$的范围是$1$至$n$，表示是在第$x$列，$y$的范围是$1$至$m$，表示是在第$x$列的第$y$棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是$(0,0)$。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有$k$棵植物，则能量的损失为$2k + 1$。例如，当能量汇集机器收集坐标为$(2, 4)$的植物时，由于连接线段上存在一棵植物$(1, 2)$，会产生$3$的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为$1$。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中$n = 5$，$m = 4$，一共有$20$棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了$36$的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数$n$和$m$。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

说明

对于$10\%$的数据：$1 ≤ n, m ≤ 10$；

对于$50\%$的数据：$1 ≤ n, m ≤ 100$；

对于$80\%$的数据：$1 ≤ n, m ≤ 1000$；

对于$90\%$的数据：$1 ≤ n, m ≤ 10,000$；

对于$100\%$的数据：$1 ≤ n, m ≤ 100,000$。

题意：求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2 \times gcd(i,j)-1
\]

直接暴力推式子了

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)
\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]
\]

设$a=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,b=\lfloor\frac{m}{k}\rfloor$

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[gcd(i,j)=1]
\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)
\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{d=1}^{min(i,j)}\mu(d)[d|gcd(i,j)]
\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[d|gcd(i,j)]
\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\lfloor\frac{a}{d}\rfloor\lfloor\frac{b}{d}\rfloor
\]

到这里虽然不够优，但是显然已经可以了。

复杂度:$O(\sum\limits_{i=1}^ni^{\frac{1}{2}})$其实就是$O(n\sqrt n)$

Code:

#include <cstdio>

#define ll long long

const int N=1e5;

ll ans=0;

int mu[N+10],pri[N+10],ispri[N+10],cnt;

void init()

{

    for(int i=2;i<=N;i++)

    {

        if(!ispri[i])

        {

            mu[i]=-1;

            pri[++cnt]=i;

        }

        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)

        {

            ispri[i*pri[j]]=1;

            if(i%pri[j]==0) break;

            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];

        }

    }

    mu[1]=1;

    for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];

}

int n,m;

int min(int x,int y){return x<y?x:y;}

int main()

{

    init();

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int k=1;k<=min(n,m);k++)

    {

        int a=n/k,b=m/k;

        ll sum=0;

        for(int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)

        {

            r=min(a/(a/l),b/(b/l));

            sum+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(a/l)*(b/l);

        }

        ans+=sum*k;

    }

    printf("%lld\n",ans*2ll-1ll*n*m);

    return 0;

}

2018.10.21