BZOJ 2005 [Noi2010]能量采集 (数学+容斥或莫比乌斯反演)

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

Source

析：首先能看出来，对于每个点，gcd(i，i)，就说明它是第几个点，所以我们可以用 f(x) 表示最大公因数包含x的点对的个数，为什么不直接表示最大公因数是x的点对的个数呢，因为实在是不好求啊，所以换一种表示方法，很明显f(x) = (m/x) * (n/x)，那么答案应该是什么呢，这里需要用容斥，减去后面的就好了。

也可以用莫比乌斯反演来求，F(x)表示gc(i, j)==x的点对的个数，G(x)表示gcd(i, j)=x的倍数的个数。然后就可以用莫比乌斯反演来求了

代码如下：

数论 + 容斥

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <set>

#include <queue>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <map>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <sstream>

#include <list>

#include <assert.h>

#include <bitset>

#include <numeric>

#define debug() puts("++++")

#define gcd(a, b) __gcd(a, b)

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define sqr(x) ((x)*(x))

#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)

#define sz size()

#define pu push_up

#define pd push_down

#define cl clear()

//#define all 1,n,1

#define FOR(i,x,n)  for(int i = (x); i < (n); ++i)

#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)

#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const LL LNF = 1e17;

const double inf = 1e20;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int maxn = 1e5 + 10;

const int maxm = 3e5 + 10;

const int mod = 1e9 + 7;

const int dr[] = {-1, 0, 1, 0};

const int dc[] = {0, -1, 0, 1};

const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};

int n, m;

const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

inline bool is_in(int r, int c) {

  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;

}

LL f[maxn];

int main(){

  scanf("%d %d", &n, &m);

  int mmin = min(n, m);

  LL ans = 0;

  for(int i = mmin; i; --i){

    f[i] = (LL)(m/i) * (n/i);

    for(int j = i + i; j <= mmin; j += i)

      f[i] -= f[j];

    ans += f[i] * (2 * i - 1);

  }

  printf("%lld\n", ans);

  return 0;

}

莫比乌斯反演：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <set>

#include <queue>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <map>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <sstream>

#include <list>

#include <assert.h>

#include <bitset>

#include <numeric>

#define debug() puts("++++")

#define gcd(a, b) __gcd(a, b)

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define sqr(x) ((x)*(x))

#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)

#define sz size()

#define pu push_up

#define pd push_down

#define cl clear()

//#define all 1,n,1

#define FOR(i,x,n)  for(int i = (x); i < (n); ++i)

#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)

#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const LL LNF = 1e17;

const double inf = 1e20;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int maxn = 1e5 + 10;

const int maxm = 3e5 + 10;

const int mod = 1e9 + 7;

const int dr[] = {-1, 0, 1, 0};

const int dc[] = {0, -1, 0, 1};

const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};

int n, m;

const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

inline bool is_in(int r, int c) {

  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;

}

bool vis[maxn];

int prime[maxn];

int mu[maxn];

void Moblus(){

  mu[1] = 1;

  int tot = 0;

  for(int i = 2; i < maxn; ++i){

    if(!vis[i])  prime[tot++] = i, mu[i] = -1;

    for(int j = 0; j < tot; ++j){

      if(i * prime[j] >= maxn)  break;

      vis[i*prime[j]] = 1;

      if(i % prime[j] == 0){

        mu[i*prime[j]] = 0;

        break;

      }

      else  mu[i*prime[j]] = -mu[i];

    }

  }

}

LL G[maxn];

int main(){

  Moblus();

  scanf("%d %d", &n, &m);

  for(int i = 1; i < maxn; ++i)  G[i] = (LL)(m/i) * (n/i);

  LL ans = 0;

  int k = min(n, m);

  for(int i = 1; i <= k; ++i){

    LL num = 0;

    for(int j = 1; j * i <= k; ++j)

      num += mu[j] * G[j*i];

    ans += num * (2*i-1);

  }

  printf("%lld\n", ans);

  return 0;

}