图的第k短路

【问题描述】

给你一个有向图，求从1到n的第k短路。

【解法】

SPFA+A*搜索。

1 A*算法

A*算法在人工智能中是一种典型的启发式搜索算法，启发中的估价是用估价函数表示的：

h(n)=f(n)+g(n)

其中f(n)是节点n的估价函数，g(n)表示实际状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。另外定义h'(n)为n到目标节点最佳路径的实际值。如果h'(n)≥h(n)则如果存在从初始状态走到目标状态的最小代价的解，那么用该估价函数搜索的算法就叫A*算法。

2 第K最短路的算法

我们设源点为s，终点为t，我们设状态f(i)的g(i)为从s走到节点i的实际距离，h(i)为从节点i到t的最短距离，从而满足A*算法的要求，当第K次走到f(n-1)时表示此时的g(n-1)为第K最短路长度。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define MAXN 20100
 #define INF 1000100000
 #define pii pair<int,int>
 using namespace std;
 struct node{int y,next,v;}e1[MAXN],e2[MAXN];
 struct node2
 {
     int f,g,id;
     friend bool operator < (node2 a,node2 b)
     {
         return a.f>b.f;
     }
 };
 int n,m,k,len1,len2,Link1[MAXN],Link2[MAXN],dis[MAXN],vis[MAXN],tim[MAXN],ans[MAXN];
 priority_queue<node2>Q;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;  char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-;  ch=getchar();}
     while(isdigit(ch))  {x=x*+ch-'';  ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 void insert(int xx,int yy,int vv)
 {
     e1[++len1].next=Link1[xx];
     Link1[xx]=len1;
     e1[len1].y=yy;
     e1[len1].v=vv;
     e2[++len2].next=Link2[yy];
     Link2[yy]=len2;
     e2[len2].y=xx;
     e2[len2].v=vv;
 }
 void SPFA()
 {
     priority_queue<int,vector< int >,greater< int > >q;
     memset(dis,,sizeof(dis));
     dis[]=,vis[]=,q.push();
     while(!q.empty())
     {
         int tn=q.top();
         vis[tn]=;
         q.pop();
         for(int i=Link2[tn];i;i=e2[i].next)
         {
             int tmp=e2[i].y;
             if(dis[tmp]>dis[tn]+e2[i].v)
             {
                 dis[tmp]=dis[tn]+e2[i].v;
                 if(!vis[tmp])
                 {
                     vis[tmp]=;
                     q.push(tmp);
                 }
             }
         }
     }
 }
 void Astar()
 {
     if(dis[n]==INF)  return;
     node2 temp;  temp.g=,temp.f=dis[n],temp.id=n;
     Q.push(temp);
     while(!Q.empty())
     {
         temp=Q.top(); Q.pop();
         if(temp.id==)  {ans[++ans[]]=temp.f;  if(ans[]>k)  return;}
         for(int i=Link1[temp.id];i;i=e1[i].next)
         {
             node2 opt;
             opt.g=temp.g+e1[i].v;
             opt.f=opt.g+dis[e1[i].y];
             opt.id=e1[i].y;
             Q.push(opt);
         }
     }
 }
 int main()
 {
     n=read();  m=read();  k=read();
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=read(),y=read(),v=read();
         insert(x,y,v);
     }
     SPFA();
     Astar();
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         if(!ans[i])  printf("-1\n");
         else printf("%d\n",ans[i]);
     }
     return ;
 }