P1169 [ZJOI2007]棋盘制作[悬线法/二维dp]

题目描述

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8 \times 88×8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。

而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。

小Q找到了一张由N \times MN×M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。

不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。

于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

解析

套路题。

悬线法

应用：求解某个矩阵符合条件的最大子矩阵。

通俗的讲，做法就是在增加可行矩阵高度时不断缩小可行矩阵宽度。有点像单调栈，在增加合法最大子矩阵高度时维护最大宽度。

具体做法我们一般要维护任意点\((i,j)\)的三个性质：在保证题目给出性质的前提下，该点可以向左扩展到的最远的点\(l[i][j]\)，向右扩展到的最远的点\(r[i][j]\)，向上扩展到的最远的点\(up[i][j]\)。

状态转移方程：

\[l[i][j]=\max(l[i][j],l[i-1][j])\\
r[i][j]=\min(r[i][j],r[i-1][j])\\
up[i][j]=up[i-1][j]+1
\]

在这之前，我们要预处理出单行（可以理解做\(up[i][j]=1\)）每个点的\(l[i][j]\)和\(r[i][j]\)。

参考代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define N 2010
using namespace std;
int mp[N][N],l[N][N],r[N][N],up[N][N],n,m;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j) scanf("%d",&mp[i][j]),l[i][j]=r[i][j]=j,up[i][j]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=2;j<=m;++j)
			if(mp[i][j]!=mp[i][j-1])
				l[i][j]=l[i][j-1];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=m-1;j>0;--j)
			if(mp[i][j]!=mp[i][j+1])
				r[i][j]=r[i][j+1];
	int ans1=0,ans2=0;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j){
			if(mp[i][j]!=mp[i-1][j]){
				l[i][j]=max(l[i][j],l[i-1][j]);
				r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
				up[i][j]=up[i-1][j]+1;
			}
			int w=r[i][j]-l[i][j]+1;//宽
			int h=up[i][j];//高
			int t=min(w,h);
			ans1=max(ans1,t*t);
			ans2=max(ans2,w*h);
		}
	cout<<ans1<<endl;cout<<ans2<<endl;
	return 0;
}