题解洛谷P1281 【书的复制】

蒟蒻的 \(\operatorname{DP}\) 很菜，\(\operatorname{SO}\) 我准备上一套二分的玄学操作。

简单的二分答案

二分主要是用来解决一些最值问题，它可以有效的优化暴力，使复杂度减少到 \(O(logn)\)。

我先给大家介绍一下二分里一个常用的模型：左闭右开。

如图，这就是个典型的左闭右开模型。其中，黄色部分可以表示成一个区间 \([1,9\}\)，其中包含了数字 \(1\)~\(8\)，而并非包含 \(9\)，在二分里我们把它称之为右开。

那么回过头来看 \(1\)，它是区间内的值，也是开始的值，即 \(a.begin()\)，在二分里我把它称为左闭。

所以，在一个左闭右开的模型中，区间 \([ll,rr\}\) 表示 \(ll\) 至 \(rr-1\) 内所有包含的值。

那么回到二分里，我们是不是可以把左边的 \(ll\) 标记成一定可以满足的值。右边的 \(rr\) 标记成一定不可以满足的值。那么我们就可以通过 \(mid=(ll+rr)/2\) 来取得中间值不断更新区间。如果 \(mid\) 可行，则 \(ll\) 至 \(mid\) 都可行，于是区间就缩小到了 \([mid,rr\}\)。如果 \(mid\) 不可行，则 \(mid\) 至 \(rr\) 都不可行，于是区间就缩小到了 \([ll,mid\}\)。

所以我们可以用一个 \(\operatorname{while}\) 循环来不断更新区间。直到 \(ll+1=rr\)，说明 \(ll\) 可行，\(ll+1(rr)\) 不可行，则停止。最后的 \(ll\) 就是一定可行的最大情况。

这里给个左闭右开的简单模板：

while(ll+1<rr) { //二分答案

	int mid=(ll+rr)>>1;

	if(check(mid)) rr=mid;

	else ll=mid;

}

知道了左闭右开，左开右闭也不难理解了。在一个左开右闭的模型中，区间 \(\{ll,rr]\) 表示 \(ll+1\) 至 \(rr\) 内所有包含的值。

所以，我们可以把左边的 \(ll\) 标记成一定不可以满足的值，右边的\(rr\) 标记成一定可以满足的值。再通过 \(mid\) 不断更新区间，直到 \(ll+1=rr\)。最后的 \(rr\) 就是一定可行的最小情况。

关于本题

题意：\(n\) 本书 \(m\) 个人，每人抄连续的几本书（不能不抄），求最后时间用的最多的那个人。

二分解题思路：

套一个表示复制时间的区间，逐一 \(\operatorname{check}\) 是否可行。采用左开右闭的方式，一开始 \(ll=0\) 则一定不可行，\(rr\) 等于这些时间的总和则一定可行。再不断取 \(mid\) 即可。

如何 \(\operatorname{check}\)：

二分中的 \(\operatorname{check}\) 须按题意模拟，本题中，我们可以通过二分给出的这个时间，来判断能否满足 \(m\) 个人就足够干完。所以循环跑一遍就行啦，主要是一些细节可以参考我的代码。

输出过程：

如果已经二分得到了最小的复制时间 \(rr\)，我们就能倒推把每个人的复制区间找出来。但是由于要尽可能让前面的人少抄写，我们可以倒着循环，让后面的人复制到最大化，前面的人自然就少抄了。

\(\operatorname{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=505;

int n,m,sum,a[N],s[N],t[N],len;

bool check(int x) {

	int tot=0,sum=1; //tot表示临时时间总和，sum表示人数

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		if(a[i]>x)return false; //如果打印一本的时间就不够，直接返回false

		if(tot+a[i]<=x) tot+=a[i]; //连续当前的时间

		else tot=a[i],sum++; //时间不够用了，在来一个人

	}

	return sum<=m;

}

void Point(int x) {

	int tot=0,last=n;

	a[0]=INT_MAX/2; //边界

	for(int i=n;i>=0;i--) {

		if(tot+a[i]<=x) tot+=a[i];

		else {

			len++, s[len]=i+1, t[len]=last; //记录区间

			last=i, tot=a[i];

		}

	}

	for(int i=len;i>=1;i--) cout<<s[i]<<" "<<t[i]<<"\n";

}

void Exit() {exit(0);}

int main() {

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin>>n>>m;

	if(m==0) Exit();

	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],sum+=a[i];

	int ll=0,rr=sum;

	while(ll+1<rr) { //二分答案

		int mid=(ll+rr)>>1;

		if(check(mid)) rr=mid;

		else ll=mid;

	}

	Point(rr);

	return 0;

}

\(\operatorname{Update}\) \(\operatorname{On}\) \(\operatorname{2019.03.04}\)