[BZOJ4870][Shoi2017]组合数问题 dp+矩阵乘

4870: [Shoi2017]组合数问题

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Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r，所有整数含义见问题描述。

1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

 

题解：

今年的省选题……

题目的要求很简单，就是求满足要求的组合数在膜（？）意义下的和，但这其实是一道假的数学题。

不难发现，对于符合要求的C(n*k)^x中的x都有x%k==r

我们考虑组合数最原始的应用：在一堆物品里选一些物品出来，那么题目的含义就是在n*k个物品中选x个物品，使x%k=r，求方案数

这不就是个背包吗？

那么我们设dp数组f[i][j]为前i个物品选出一些物品，使得物品的个数x%k==j

那么不难写出转移方程：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][(j-1+k)%k]（前者表示不选第i个，后者表示选）

这显然是一个线性的递推式，因此我们考虑矩阵乘优化

设矩阵A中A[i][j]表示从%k=i转移到%k=j的方案数

那么我们的目标就是pow(A，n)之后的A[0][r];

初始化的时候，把所有的A[j][j]++,所有A[(j-1+k)%k][j]++（类比上面的转移方程）

然后再来一个单位矩阵一乘就好了。代码见下：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N=;
 LL n,p,k,r;
 struct marx
 {
     LL m[N][N];
     inline void print()
     {
         for(int i=;i<k;i++)
         {
             for(int j=;j<k;j++)
                 printf("%lld ",m[i][j]);
             printf("\n");
         }
         printf("\n");
     }
     inline void clear(){memset(m,,sizeof(m));}
     marx operator * (const marx &b) const
     {
         marx c;c.clear();
         for(int i=;i<k;i++)
             for(int j=;j<k;j++)
                 for(int u=;u<k;u++)
                     c.m[i][j]=(c.m[i][j]+m[i][u]*b.m[u][j])%p;
         return c;
     }
 }A,B,C;
 int main()
 {
     scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&k,&r);
     A.clear(),B.clear(),C.clear();
     C.m[][]=;
     for(int j=;j<k;j++)
         B.m[j][j]=,A.m[(j-+k)%k][j]++,A.m[j][j]++;
     LL tmp=n*k;
     while(tmp)
     {
         if(tmp&)B=B*A;
         tmp>>=;A=A*A;
     }
     C=C*B;
     printf("%lld\n",C.m[][r]);
 }