[AT2000] [agc002_f] Leftmost Ball

题目链接

AtCoder：https://agc002.contest.atcoder.jp/tasks/agc002_f

洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/AT2000

Solution

对于一个任意的颜色序列，它合法当且仅当任意一个前缀序列都要满足白色数量大于等于颜色种类数（不包括白色）。

设\(f[i][j]\)表示当前填了\(i\)个白球，\(j\)种其他颜色的球的方案数，显然当\(i<j\)时\(f[i][j]=0\)。

考虑转移，我们考虑每次都填最前面那个没填过的位置：

• 填白球不会有任何影响，直接转移就好了。
• 否则我们可以从剩下\(n-(j-1)\)种颜色种任选一种，一个填在第一个能填的位置，剩下的\(k-2\)个填在剩下\(n*k-i-(j-1)(k-1)-1\)个位置里。

转移式子就是：

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]\cdot (n-j+1)\cdot \binom{nk-i-(j-1)(k-1)-1}{k-2}
\]

暴力转移就好了，初值\(f[0][0]=1\)，时间复杂度\(O(n^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

const int maxn = 2e3+10;
const int maxm = maxn*maxn;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;

int add(int x,int y) {return x+y>mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}

int n,k,f[maxn][maxn],fac[maxm],ifac[maxm],inv[maxm];

void prepare() {
    inv[0]=inv[1]=fac[0]=ifac[0]=f[0][0]=1;
    for(int i=2;i<maxm;i++) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    for(int i=1;i<maxm;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    for(int i=1;i<maxm;i++) ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
}

int c(int nn,int mm) {return mul(fac[nn],mul(ifac[mm],ifac[nn-mm]));}

int main() {
    read(n),read(k);prepare();if(k==1) puts("1"),exit(0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            f[i][j]=add(f[i-1][j],mul(f[i][j-1],mul(n-j+1,c(n*k-i-(k-1)*(j-1)-1,k-2))));
    write(f[n][n]);
    return 0;
}